说明：本文华算科技主要介绍透射电镜图像中莫尔条纹的含义和出现场合，双衍射产生莫尔条纹的过程，晶面间距差与相对转角对条纹周期和方向的影响，局部位移与位错在莫尔像中的表现，以及转角二维材料莫尔超晶格和STEM扫描莫尔条纹的来源。

TEM图像中的莫尔条纹是什么？

透射电镜（TEM）让高能电子穿过很薄的样品成像。电子穿过单块晶体时，一部分沿原方向前进形成透射束，另一部分被晶面衍射；高分辨条件下两束电子发生干涉，在像上留下与晶面平行的明暗条纹，即晶格条纹，其周期对应晶面间距d，无机晶体常见的d值多在0.1～0.4 nm。

电子束沿途如果先后穿过两块晶体，而两者的晶面间距或取向只差一点，像上还会叠加一套周期大得多的明暗条纹，称为莫尔条纹。两块晶体的差别越小，莫尔周期越大，可以从零点几纳米延伸到几十纳米。

奥氏体不锈钢中的NbC型MC碳化物析出相，尺寸通常在几十纳米以下，小于TEM样品的厚度（一般在100 nm以内），电子束因此先后穿过基体与析出相两套晶格。

两相保持立方-立方取向关系，同名晶面平行而间距不同，析出相所在区域便叠加出比两相晶格条纹都粗的周期衬度。这套条纹只出现在两相重叠的区域，周期由两套晶格共同决定，不对应任何一组真实原子面。

两层纱窗叠放时出现的大块明暗波纹可作类比：单层网格很细，两层网格错开的程度决定了波纹的疏密。

单晶Si中析出的Ag纳米晶同样与周围Si晶格平行排列，电子束穿过颗粒时也穿过其上下两侧的Si。

沿平面方向观察InAs/GaAs、Ge/Si等外延岛时，衬底与岛体在电子束方向上天然重叠；钢中倾斜孪晶界两侧的基体与孪晶，在投影方向上相互交叠；逐层堆叠的二维材料中，相邻原子层之间带有小转角或晶格失配，两层晶格在整个视场内处处重叠。

两套周期叠加后，MC/奥氏体样品的FFT中除了两相各自的衍射斑点，还出现许多无法按任一相标定的斑点，妨碍析出相晶体结构的识别；做几何相位分析（GPA）时，莫尔衬度也会叠加进应变图。

另一方面，莫尔条纹把两套晶格的微小差别放大成纳米级周期，这一现象在电子显微学发展初期就已为人所知，至今仍常用于识别半导体和金属中的位错。这种放大作用来自电子在两块晶体中先后发生的两次衍射。

莫尔条纹如何形成？

设电子先穿过晶体I。晶体I中满足布拉格条件的晶面把一部分电子衍射出去，衍射方向用倒易矢量g₁表示；这束电子接着进入晶体II，又可被晶体II的对应晶面按−g₂再衍射一次，出射方向对应差矢量Δg = g₁ − g₂，这一过程称为双衍射。

两套晶格只差几个百分点的间距或几度转角时，Δg远短于g₁和g₂，双衍射束几乎沿透射束的方向出射。

双衍射束紧挨透射束，明场成像时物镜光阑套住透射束，它也一起通过光阑。两束电子在像平面上干涉，强度沿Δg方向周期变化，周期为D = 1/|g₁ − g₂|，条纹走向与Δg垂直。

暗场成像时，光阑同时选取晶体I的g₁衍射束和晶体II的g₂衍射束，两者干涉得到的条纹周期同样是1/|g₁ − g₂|。参与干涉的两束电子波矢只相差Δg，莫尔像因此不要求物镜分辨单个晶面。

Si衬底与SiGe多层叠片的莫尔应变测量，就是在一台200 kV、LaB₆灯丝的常规透射电镜上完成的。

同一组差矢量也出现在电子衍射花样和高分辨像的傅里叶变换（FFT）中。MC碳化物与奥氏体基体保持立方-立方取向关系，两相同名斑点位于同一方向上、间距不同；基体与析出相的衍射矢量两两组合，在透射斑000附近和基体hkl斑点附近形成一组莫尔斑点，组合再叠加一次还会出现二级莫尔斑点。仅在000周围，一级莫尔斑点就有6个。

000附近的莫尔斑点到透射斑的距离，等于两相对应斑点的间距差，换算成实空间周期，比两相的任何一组晶面间距都大得多。只保留这些斑点做反傅里叶变换，衬度集中在两相重叠的析出相区域，与莫尔条纹的位置一致。

斑点位置还取决于取向关系：同一组MC/奥氏体组合换成孪晶型取向关系后，莫尔斑点落在另一组位置上。

决定莫尔条纹的周期的因素？

取向关系固定、两组晶面平行时，g₁与g₂方向相同，差矢量长度为|1/d₁ − 1/d₂|，代入上式得到D = d₁d₂/|d₁ − d₂|，条纹与原晶面平行，即平移莫尔条纹。

单晶Si中的Ag纳米颗粒与基体晶面平行，Si与Ag的(111)晶面间距分别约为0.314 nm和0.236 nm，由该式算得周期约0.95 nm；傅里叶滤波高分辨像中测得的条纹间距为0.94 nm，同一颗粒另一组平行晶面给出约0.55 nm的周期。

Ag与Si的晶格失配约25%，莫尔周期只有Si(111)晶面间距的3倍左右。Si衬底与完全弛豫的SiGe层（Ge含量64.5%）叠放、两者(111)晶面不发生转动时，晶格参数只差2.58%，莫尔条纹周期却达到12.5 nm，约为Si(111)晶面间距的40倍。周期与失配度近似成反比，失配度降到1%时，同一组晶面的平移莫尔周期约为32 nm。

晶面间距完全相同时，莫尔条纹只能来自相对转动：两组晶面绕电子束方向相对转过α角后，|g₁| = |g₂|，差矢量长度为2|g|sin(α/2)，周期为D = d/[2sin(α/2)]，小角度下近似为d/α，条纹接近垂直于原晶面，这类条纹叫作旋转莫尔条纹。

把Si衬底薄片与待测SiGe/Si多层截面薄片叠放、两片之间转过7.8°时，用(004)衍射成暗场像，莫尔周期只有约1 nm，与Si(004)晶面间距0.136 nm代入该式的结果一致；按同一公式，Si(111)晶面在3.2°转角下的旋转莫尔周期约为5.6 nm。

由莫尔条纹提取应变时，空间分辨率最高为莫尔周期的2倍，转角越大，分辨率越高。上述叠片在3.2°转角下得到的面外应变图分辨率为11 nm，足以测量大视场内厚SiGe层的应变，却不足以分辨10 nm厚Si夹层内的应变变化；转角增大到7.8°后，分辨率提高到2 nm，Si夹层相对Si_0.6Ge_0.4约−2%的面外形变清晰可辨。

间距差和转角同时存在时，差矢量由两部分合成，周期写作D = d₁d₂/√(d₁² + d₂² − 2d₁d₂cosα)，条纹垂直于合成后的差矢量，方向介于平移莫尔与旋转莫尔之间，称为混合莫尔条纹。

条纹方向对转角的反应远比周期敏感：失配2.58%的SiGe/Si若再带0.5°转角，周期只从12.5 nm缩短到约11.8 nm，条纹相对晶面却偏转约19°。

条纹对晶格变化的这种敏感性来自相位：莫尔条纹的相位等于两束衍射波几何相位之差。晶体II某处晶格沿g方向局部位移u，该处莫尔条纹就平移u·D/d；位移一个晶面间距d，条纹恰好移过一个完整周期D。

SiGe/Si例子中D/d约为40，0.01 nm的晶格位移在莫尔像上变成约0.4 nm的条纹平移。以未变形的Si衬底薄片为参考，这种放大使应变测量在500 nm × 2 μm的视场内达到0.02%的准确度，精密度最高为0.01%。

绕刃位错一周，晶格位移累积一个伯格斯矢量，对应位置的莫尔条纹多出或少掉一条，表现为中途终止的条纹。

GaSb外延层生长在GaAs衬底上，两者{220}晶面间距约为0.216 nm和0.200 nm，失配7.8%，平面视角下平移莫尔条纹的周期算得2.75 nm，实测2.8 nm；莫尔条纹在若干位置中途终止，这些位置正对应界面纯刃型失配位错的投影。

莫尔像记录的是位错的投影，不是位错本身。层错等界面局部畸变在莫尔像中表现为条纹的错位。

转角二维材料与STEM扫描中的莫尔图样

析出相、外延层和SiGe叠片中的莫尔条纹来自两块晶体衍射波的干涉，两块晶体各自保持原有晶格。

范德华层状材料逐层堆叠、层间带有小转角或晶格失配时，两层原子的相对位置随空间周期变化，局部堆垛方式在一个超晶格周期内连续变化，构成真实存在的莫尔超晶格。

超晶格周期遵循同样的几何关系，同种材料双层的周期由转角决定；WSe₂/MoS₂异质双层的晶格常数相差约4%，即使转角为零，周期最大也只有约8 nm。

超晶格内部各处的堆垛方式，可以用4D-STEM布拉格干涉测量逐点获得：两层衍射盘重叠区域的干涉强度随局部堆垛方式变化，拟合后得到两层原子之间的相对位移。

平行堆垛（P）的MoS₂双层在位移图中呈现三角形畴，反平行堆垛（AP）呈现六边形畴；相邻畴之间以窄的畴壁相连，畴壁处对应鞍点堆垛。

三角形畴和六边形畴来自转角较小时的原子重构：层间堆垛能较低的区域通过层内局部转动扩张成公度畴，堆垛能较高的区域收缩，剪切应变集中在畴壁上。

转角约2°时，P双层中高能MMXX堆垛区的面积只有刚性莫尔结构的36%，AP双层中高能XX区仍保留79%，AP结构此时已接近刚性叠加，P结构仍明显弛豫。

STEM用会聚电子探针逐点扫描样品，等间距排列的像素位置本身构成一套周期性的扫描光栅。像素间距接近某组晶面间距时，晶格与扫描光栅之间也会产生莫尔干涉，形成扫描莫尔条纹（SMF）。

呋塞米药物晶体的(001)晶面间距约1.50 nm，用1.32 nm的像素间距扫描，得到周期约10 nm的扫描莫尔条纹，总电子剂量仅1.8 e⁻/Ų；在这一放大倍数下像素间距与晶面间距相近，明场STEM无法直接分辨(001)晶格。

扫描莫尔条纹的周期和方向由像素间距、晶面间距以及两者夹角θ共同决定，像素间距只能随放大倍数取离散值。

扫描光栅与晶面完全平行（θ = 0）时得到平移型条纹，条纹终止才能直接对应刃位错；θ不为零时，条纹尺寸和取向随局部晶面间距或取向的微小变化而起伏，呋塞米晶体中的这种起伏提示了晶格应变的存在。

在半导体和功能氧化物中，扫描莫尔条纹多用HAADF-STEM采集，用于大面积应变测量。