能带结构通常通过“能带图”或“E-k图”来表示，它描述了电子的能量（E）与其波矢（k）之间的色散关系。
波矢k代表电子在晶格中的准动量，其取值范围被限制在“第一布里渊区”的倒易空间区域内。E-k图揭示了电子在晶格的不同方向上运动时所允许的能量状态，是分析材料电子学和光学性质最直观的工具。
图1 SnTe{001}表面态的能带图DOI：10.1038/ncomms1969
能带理论的出发点是单个孤立原子的电子能级。当大量原子（例如，阿伏伽德罗常数级别）规则地排列形成晶体时，原有的物理图像发生了根本性改变。
从离散原子能级到连续能带
在单个孤立的原子中，电子被束缚在原子核周围，其能量状态是量子化的，表现为一系列离散的能级。然而，当原子聚集形成固体晶格时，一个原子的外层电子会感受到来自相邻原子的势场影响。这种原子间的相互作用导致原本简并（能量相同）的原子能级发生分裂。
根据量子力学，当N个原子相互靠近时，每一个离散的原子能级会分裂成N个非常接近的能级。在宏观固体中，N是一个巨大的数字，这N个分裂后的能级能量差变得极小，以至于它们在能量上形成了一个准连续的能量范围，这个范围就是“能带”。
图2 随着原子数量的增加，从单独轨道（离散能级）到固体晶格材料能带。
能带图中间隙的形成
当两个原子的外层电子足够接近时，它们的状态会因相互作用而发生能量转移。这种现象导致了键合态和反键态的形成，其中键合态的能量降低，而反键态的能量增加，未被能量转移的态被称为非键合态。当N个原子相互靠近形成固体时，这些键合、反键和非键合状态形成了带隙。
图3 （a）原子轨道通过轨道重叠形成（b）分子能带的演变过程。轨道重叠导致固态体中形成能带（价带；导带）。价带和导带之间可能被带隙分隔，该区域不存在任何电子态。
Bloch定理与周期性势场
布洛赫定理假设晶体是无限的、均匀的，并且除了Pauli排斥作用外，电子之间没有相互作用。
布洛赫定理（Bloch’s Theorem）：在周期性势场（由排列整齐的原子核提供）V（r）=V（r+R）（R为晶格矢量）中，单电子Schrödinger方程的解具有特殊形式：
它是一个平面波eik·r与一个具有晶格周期性的函数uk（r）的乘积，其中k为波矢。Bloch函数中的uk（r）满足与势场相同的周期性，即uk（r+R）=uk（r）。这意味着电子波函数是一个被晶格周期调制的平面波，即波的参数（如振幅）进行变化的平面波。
图4 单层FeSe/SrTiO3在不同磁序下自旋的能带图。DOI：10.1088/1367-2630/16/3/033034
该定理的一个直接结论是，能量本征值E（K）在倒易空间中呈现周期性重复，即En（K+G）=En（K），其中G为倒格矢。
因此，能带结构En（K）通常被约束在第一布里渊区等简约区内进行描述，单位晶格的倒易晶格被称为第一布里渊区，这被称为简约布里渊区图式。按照惯例，布里渊区内的点用希腊字母表示，而边界上的点使用拉丁字母表示。
图5 SnTe（a）晶体结构和（b）布里渊区。DOI：10.1038/ncomms1969
下图为一维原子链的电子能带结构，其中晶格常数为a，其色散形式为：
虚线表示在没有周期性势场的情况下，以k=0，±2π/a为中心的重复抛物线，表示为在势阱中粒子的薛定谔方程解，由能量本征值给出。
实线表示由于非零傅里叶系数（UG）导致的布里渊区边界（±π/a）附近能带分裂的情况。对于一个几乎自由的电子，在恒定势场中，能量和动量可以同时守恒，这可以通过添加一个倒易晶格向量G来实现。
图6（a）和（b）显示了具有周期性a的一维周期晶格在k空间中电子能带色散的简单示意图。
布洛赫定理极大地简化了问题，将原本需要求解N个电子的复杂问题，转化为了在第一布里渊区内求解不同波矢k对应的电子能量E（K）的问题。
周期性势场导致的波函数干涉
能带在简约区内呈现出的“波浪”状色散关系，其物理根源在于晶格势场对电子波的散射，特别是在布里渊区边界处，这种散射会导致能级劈裂和能隙的形成。
当电子波在晶格中传播时，会在每个原子位置发生散射。当波矢满足布拉格条件K=1/2G（即布里渊区边界）时，前向波与后向散射波发生相长干涉，形成驻波。两种驻波模式（波腹位于原子核位置和波节位于原子核位置）具有不同的势能期望值，导致能量分裂形成能隙。
图7 原子势的变化改变了色散（能量–波矢关系），这可能导致在Γ点或一维情况下的带边缘k=±1/2G处出现能隙。
价带、导带与禁带（能隙）
根据电子的填充情况，能带被分为几类关键区域：
价带（Valence Band）：在绝对零度下，被价电子完全填满的能量最高的能带。价带中的电子通常不参与导电。
导带（Conduction Band）：位于价带之上，在绝对零度下通常是空的或部分填充的最低能带。当电子被激发到导带后，它才能在晶体中自由移动，形成电流。
禁带或能隙（Band Gap）：位于价带顶和导带底之间的一个能量区间，在这个区间内不存在任何允许的电子态。禁带的宽度（Eg）是决定材料电学性质的关键参数。
图8 （a）硼化物（P6m2）和（b）氧化铋（P4/nmm）单层的最高价带结构和最低导带。费米能被设定为零。DOI：10.1016/j.cpc.2021.108033
绝缘体、半导体、导体
绝缘体：具有很宽的禁带（通常>3 eV），价带被完全填满，导带完全为空。电子很难从价带跃迁到导带。
半导体：禁带宽度较窄（通常0.1-3 eV），在室温下，部分电子可以通过热激发从价带跃迁到导带，从而具有一定的导电能力。
导体：没有禁带，导带与价带发生重叠，或者最高填充能带没有被完全填满。存在大量自由电子，因此导电性极好。
图9 绝缘体、导体和半导体中的轨道能带
载流子有效质量
在晶体周期性势场中运动的电子，其行为不同于在真空中运动的自由电子。为了简化描述，引入了“有效质量”（Effective Mass，m*）的概念。有效质量反映了能带的弯曲程度，它可以通过能量E对波矢k的二阶导数来计算：
n是能带指数，K是电子波矢量，α和β是笛卡尔方向（x，y和z），而ℏ是约化普朗克常数。
能带越平坦（曲率越小），有效质量越大；能带越陡峭（曲率越大），有效质量越小。有效质量是决定载流子迁移率、电导率和态密度等关键输运性质的重要参数。
图10 不同有效质量能带图
费米能级
费米能级是在绝对零度时电子占据的最高能级。费米能级相对于能带的位置决定了材料的导电性质。费米面就是能量等于费米能级的等能面。
图11 在金属中，费米能级位于一个能带内。在半金属中，价带和导带在费米能级处略有重叠（I）或没有（II）。在半导体（以及绝缘体）中，费米能级位于一个能量间隙内。https://theses.hal.science/tel-01900468v1
图12（a）Cu的费米表面（b）Cu-s态、（c）Cu-p态和（d）Cu-d态的轨道分辨费米表面分别用FermiSurfer软件包可视化，颜色表示各态的权重。DOI：10.1016/j.cpc.2021.108033
态密度
单位能量间隔内的量子态数目，是连接能带结构与宏观物理量的桥梁。
图13（a）BiClO（P4/nmm）和（b）石墨烯单层的投影能带结构（左面板）和态密度（右面板）。费米能级设为0 eV。DOI：10.1016/j.cpc.2021.108033
角分辨光电子能谱（ARPES）
这是目前最直接、最强大的探测体相和表面能带结构的实验技术。其原理基于光电效应：用一束单色光子（通常是紫外或X射线）照射样品，使电子被激发出来。
通过同时测量出射电子的动能和角度，可以反推出电子在离开晶体前在材料内部的能量和准动量（k矢量），从而直接绘制出E-k能带色散关系图。
图14 （a）用于ARPES测量的二维探测器的示意图，显示了光电子随不同动能和发射方向的不同轨迹。（b）方向K和Г（c）垂直于K和Г的方向的布里渊区中的狄拉克锥。
扫描隧道显微镜（STM）
STM能够提供原子级分辨率的表面形貌图像。而通过扫描隧道谱（STS）技术，即测量隧穿电流随偏压的变化（dI/dV），可以获得与样品表面局域电子态密度（LDOS）成正比的谱图。
通过分析STS谱，可以精确确定表面能隙的大小、费米能级位置以及杂质或缺陷引入的局域电子态。
图15 STM得到三维的数据集：两个空间维度（x，y）和能量E。（b）形貌（c）dI/dV映射（d）I/V谱：在单个点上测量样品表面的电流与偏压电压的关系。（e）dI/dV谱：在样品表面沿一条线上的多个点测量状态密度与能量的关。
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