半导体物理基础：能带、载流子与PN结

晶体材料的导电性由导带与价带之间的禁带宽度决定。

当禁带宽度较大时，电子无法从价带跃迁到导带，从而使导带和价带都没有可以自由移动的载流子，在这种情况下材料属于绝缘体。

当禁带宽度较小（禁带宽度为0.5～3eV），少量电子得到能量（如热激发）后能够从价带跃迁到导带，导带和价带均有可以自由移动的载流子，这时材料为半导体。如图1所示，电子在导带底、价带顶的能级及禁带宽度分别表示为：E_C、E_V和E_g。

半导体中的载流子有两种：电子和空穴。被激发到导带中的电子可以自由移动，在电场的作用下这些自由电子能够定向移动形成电流。当价带中的电子被激发到导带中后，价带中留下空穴，空穴可以视为带正电荷的实体，能够在价带中移动，当电场存在时价带中的空穴也可以定向移动产生电流。

可移动空穴存在于价带顶部（其最高能级即E），这是因为电子倾向于存在能级较低（电位较高）处。因此，半导体中的载流子是导带中的可移动电子和价带中的可移动空穴。

需要说明的是，在数学上，电子与空穴的波函数延伸至整个晶体，而非定域在某个原子上。但若能带很窄，则电子波函数在某原子附近呈现最大值，电子和空穴实际上是定域的，迁移率很低。若能带很宽，则电子几乎是完全离域的，迁移率很高，导带属于此情况。所以通常说金属中有自由移动的电子。

图1. 价带电子激发到导带。

不含任何杂质，没有缺陷的半导体称为本征半导体。上述能带结构模型是完整晶体的模型，对半导体来说，即为本征半导体的能带模型。在本征半导体中激发一个电子进入导带必然在价带中留下一个空穴，因此本征半导体中电子和空穴的浓度相等。

本征半导体的费米能级E_F处于导带底和价带顶的中间。真实晶体中却常有杂质原子和各种缺陷，是不完整的晶体。此时，杂质和缺陷常引起定域能级。电子和空穴占据这些能级时自身的运动受到限制，成为定域的电子或空穴。向半导体中掺入杂质元素，就会在禁带中出现这种附加的定域能级。

能够向半导体的导带中提供电子的杂质原子称为施主。

如磷原子掺到晶体硅中，硅和磷的价电子分别为4个和5个。磷取代晶体中硅原子时，它有一个多余的电子无价轨道可占，不能进入价带。所以处于比价带（E_V）高的能级上，又同时受磷原子核的吸引，其轨道定域在磷原子周围，故也不进入导带。

磷原子多余电子的能级E_D处于禁带中，当该定域能级被占据时，磷原子呈电中性；当电子被激发到导带中时，它带正电。所以磷原子是施主，如图2所示。这种半导体被称为N型半导体，其自由电子浓度>空穴浓度，故称电子为“多子”，空穴为“少子”。

图2. 施主与N型半导体的能带

能够接受或捕捉半导体价带中电子的杂质原子称为受主。

如硼掺杂到晶体硅中后，硼在晶格中取代一个硅原子。由于硼只有3个价电子，所以将出现一个未被占据的价轨道，该轨道的能级成为受主能级E_A，其能量高于正常价带。该空轨道可捕获价带中的电子，在价带中留下空穴。受主能级的特点是：当多余（空）轨道未被占据时，杂质原子呈电中性；被占据时，它为负电性。

这种半导体称为P型半导体，其“多子”为空穴，自由电子是“少子”，如图3所示。

图3. 受主与P型半导体的能带

一般情况下，施主能级(E_D)接近于导带底(E_C)，受主能级(E_A)接近于价带顶(E_V)。但不应以杂质能级的位置区分施主与受主，因二者能级均可出现在禁带的任何地方。而应以其特征来区分，即施主能级被电子占据时呈电中性，受主能级被空穴占据时呈电中性。

由上述讨论知，半导体中起主要作用的是靠近E_C的电子和靠近E_V的空穴。通常，导带底与价带顶的态密度函数Z(E)随电子能量E呈如下关系：

Z_C(E)=[4πV(2m_n*)^3/2(E-E_C)^1/2]/h³ （1）

Z_V(E)=[4πV(2m_p*)^3/2(E_V-E)^1/2]/h³ （2）

式中，m_n，m_p分别为导带底、价带顶的电子和空穴的有效质量；V为半导体晶体体积；h为普朗克常数。 

半导体在热平衡状态下，电子按费米–狄拉克（Fermi-Dirac）分布规律分布于不同量子态上，即某一量子态被电子或空穴占据的概率分别表示为式（3）和式（4）：

F(E)=1/[exp((E-E_F)/kT)+1] （3）

1-F(E)=1-1/[exp((E-E_F)/kT)+1] （4）

在半导体中，E_F处于禁带中，其与E_C，E_V的能量差远大于kT，为使导带中量子态被电子占据的概率F(E)最大，导带中的电子应当分布在导带底。而为使价带中量子态被空穴占据的概率1-F(E)最大，空穴在价带中应当分布在价带顶。根据载流子的分布关系可以推导出导带中电子浓度为：

n₀=N_Cexp[-(E_C-E_F)/kT] （5）

式中，N_C为导带中的有效态密度，其表达式为：

N_C=2(2πm_n*kT)^3/2/h³ （6）

因为F(E)是按指数变化的，只有导带底1~2kT范围的Z(E)有实际意义，因此可把导带视为E_C的N_C个能级，即有效态密度，通常N_C为10²⁵m^-3。

同理可以推导出价带中空穴浓度为：

p₀=N_Vexp[(E_V-E_F)/kT] （7）

式中，N_V为价带中的有效态密度（E_V附近的N_V个能级），其表达式为：

N_V=2(2πm_p*kT)^3/2/h³ （8）

根据式（5）和式（7）可以得到半导体中载流子的浓度积为：

n₀p₀=N_CN_Vexp[-(E_C-E_V)/kT]=N_CN_Vexp(-E_g/kT) （9）

式（9）表明载流子浓度积与E_F无关，对于一定的材料，它只是温度的函数，与杂质无关。

因为本征半导体电子浓度与空穴浓度相等，即满足：

n₀=p₀ （10）

所以，将式（5）和式（7）代入式（10）后可得到本征半导体的费米能级(E_F)：

EF=(E_C+E_V)/2+ln(N_V/N_C)kT/2) （11）

由于本征半导体中N_V≈N_C，因此上述表明E_F几乎处于禁带中间部位，如图4所示。将式（11）代入式（5）和式（7）中可得到本征半导体的“本征载流子浓度”n_i：

n_i=n₀=p₀=(N_CN_V)^1/2exp(-E_g/2kT) （12）

上述两边平方得：

n_i²=N_CN_Vexp(-E_g/kT) （13）

与式（9）对比可知：

n₀p₀=n_i² （14）

式（14）表明：在一定温度下，半导体热平衡时载流子浓度积等于本征载流子浓度的平方，而与掺杂无关（尽管杂质不同时，电子与空穴浓度可以有很大差别）。

图4. 本征半导体能带结构

（1）N型半导体

当半导体中掺杂部分施主原子时，载流子主要来自杂质原子的电离。当E_FD，且施主杂质电离很小时，可以认为施主杂质全部电离，其电子进入导带。这时半导体中的多数载流子为导带中的电子，其浓度为：

n₀=N_D （15）

式中，N_D是施主浓度。

根据式（14）和式（15）可以计算出半导体中空穴的浓度为：

p₀=n_i²/N_D （16）

将式（15）代入式（5）可以求出掺杂后半导体的费米能级：

E_F=E_C+kTln(N_D/N_C) （17）

在通常的掺杂浓度下，N_DC，根据式（17）可知N型半导体的费米能级略低于导带底E_C，如图5所示。

图5. N型半导体能带结构

（2）P型半导体。

当半导体中掺杂部分受主原子时，载流子主要来自杂质原子捕获电子在价带中留下的空穴。当E_F>E_A时，且受主杂质与电子的结合能较大时，可以认为受主杂质全部获得电子，在价带中留下大量空穴。这时半导体中的多数载流子为价带中的空穴，其浓度为：

p₀=N_A （18）

式中，N_A为受主浓度。

根据式（14）和式（18）可以计算出半导体中少子（电子）的浓度为：

n₀=n_i²/N_A （19）

将式（18）代入式（7）可以求出掺杂后半导体的费米能级：

E_F=E_V-kTln(N_A/N_V) （20）

在通常的掺杂浓度下，N_AV，根据上式可知P型半导体的费米能级略高于价带顶E_V，如图6所示。

图6. P型半导体能带结构

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