说明：布里渊区（Brillouin Zone）是固体物理学中描述晶体中电子德布罗意波、声子、电磁波等波传播与能量关系的核心概念，本文详细阐述了布里渊区的定义，划分方法与重要意义。
在正空间中，晶体结构可以由布拉菲格子描述，每一个格点对应一个晶体基元，将正格子的基矢进行傅里叶变换可以得到倒格子基矢，从而推出倒格子与倒易空间。
倒格子是正格子的 “傅里叶共轭点阵”，倒格子的一个格点对应正格子的一族晶面。
在倒易空间中，从原点出发，作所有倒格矢的垂直平分面（线）， 这些平面会将倒空间分割为一系列互不重叠、无间隙的闭合区域，每个区域即为一个布里渊区。这些区域由内到外分别称为第一布里渊区、第二布里渊区等，且每个布里渊区的体积均相等。
最常用的就是第一布里渊区，它被定义为围绕原点、且不与任何垂直平分面相交的最大区域。
图源自：https://www.eelvex.net/post/brillouin-zones-guide
1. 假设在一个方形格子中，将原点与随机点连接，取垂直平分线，这是一个布拉格平面（直线）。（a-b）
3.把原点连接到一个随机区域。每次你跨越一条线（布拉格平面），你就会进入一个新的（+1）布里渊区。（e）
下图分别为六方晶格的前60个布里渊区、斜方晶格的前60个布里渊区、立方晶格的前100个布里渊区和矩形晶格的60个布里渊区。
三、倒空间的 “普通原胞” vs 布里渊区（Wigner-Seitz 原胞）
倒格子是周期性的布拉菲格子，所以它一定有倒空间原胞，但原胞的选择不唯一，常见的有两种：普通原胞——平行六面体原胞和特殊原胞——Wigner-Seitz 原胞。
Wigner-Seitz 原胞：以某一格点为中心，作相邻格点连线的中垂面，中垂面所包围的区域，Wigner-Seitz 原胞具有与晶格相同的对称性。
第一布里渊区本质是倒格子的 Wigner-Seitz 原胞，相比构造简单的平行六面体原胞，第一布里渊区的优势在于：
1. 对称性极高：和倒格子以及对应的正格子的对称性完全一致，能直接反映晶体的点群对称性，比如 FCC 正格子的倒格子是 BCC，它的第一布里渊区是 “截角八面体”，完美体现了立方晶系的对称性，这对分析电子能带、声子谱至关重要；
2. 包含 “不可约表示”：可通过对称性进一步将第一布里渊区划分为 “不可约布里渊区”，只需计算不可约区域的能带，即可通过对称性扩展到整个第一布里渊区，极大减少计算量。
3.直接对应波的物理行为：第一布里渊区的边界就是布拉格平面，对应 “波的布拉格反射条件”，当波矢到达边界时，波会被晶体点阵反射，导致能量出现不连续，即能带隙。电子在导体中无带隙，在半导体中有带隙，根源即在于此，这也是它能用来分析电子能带、衍射现象的核心原因。
DOI: 10.1016/j.cpc.2021.108033
电子在晶体中并非自由运动，而是在周期性势场中形成 “能量带”即能带，而布里渊区正是描述这些能带的 “天然坐标系”，电子的能量满足倒格矢周期性：
其中G为任意倒格矢，以上公式表明，所有电子状态都可通过第一布里渊区内的简约波矢完整描述，无需考虑无限延伸的倒空间 —— 极大简化了计算复杂度。
能带图的横轴是 “第一布里渊区的高对称路径”，如面心立方晶体的Γ→Χ→W→K→Γ路径，纵轴是电子能量E（k）。通过计算不同简约波矢对应的能量，可直观呈现电子的能量分布：
金属存在未填满的能带，即费米面穿越某条能带，常温下电子可轻松跃迁到相邻空态，导电性优异；半导体的费米面位于能带隙，即导带底与价带顶之间的能量空白区中，带隙较窄，升温或掺杂后电子可跨越带隙，实现导电；而绝缘体的带隙极宽，电子难以跨越，几乎不导电。
费米面：费米面是第一布里渊区中 “电子占据态与空态的分界面”。
费米面的形状直接反映电子的输运特性：如碱金属等自由电子气的费米面是球面，导电性各向同性；过渡金属如铁、镍的费米面因晶格势场影响发生畸变，导致导电性、磁性呈现各向异性。
上图d显示了费米能级上相应的电子态密度 (DOS) 随E和ν的变化。当E = 0 时，DOS 在ν = 0.75 附近显示范霍夫奇点 (vHS) ，它源自位于莫尔布里渊区17的 m 点处的鞍点。在 vHS 上，空穴费米面突然从断开的 κ/κ′ 空穴口袋变为单个 γ 电子口袋（插图）。10.1038/s41586-024-08116-2
声子是 “晶格振动的量子化元激发”，其运动状态（频率、传播方向）与材料的热传导、比热容、热膨胀等热学性质直接相关，而布里渊区是描述声子状态的核心框架。
晶格振动的传播可视为 “晶格波”，其波矢k同样满足倒格矢周期性：ω（k）=ω（k+G），ω为声子频率，因此第一布里渊区可完整覆盖所有声子状态。
声子在布里渊区中分为两类模式，声学支对应晶格中原子的 “整体振动”，如长波声学支近似为弹性波，参与热传导；光学支对应晶格中不同原子的相对振动，如离子晶体中正负离子的反向振动，与光的耦合较强，如红外吸收。
10.1038/s41586-025-09511-z
热导率：材料的导热能力主要由声子输运决定 —— 声子在布里渊区中的群速度越大、散射越弱，热导率越高，如金刚石第一布里渊区对称性高，声学支声子的群速度大，且原子质量小、晶格缺陷少，声子散射弱，因此热导率远高于普通金属
比热容分析：当温度远低于德拜温度时，材料的比热容与温度的三次方成正比，而德拜温度的本质是第一布里渊区中声子的最高频率。
通过布里渊区的体积与声子色散关系，可精准计算比热容随温度的变化，例如低温下半导体的比热容低于金属，正是因为半导体的布里渊区中声子态密度低于金属。
g. 由c-f图提取的SiC区（红线）、AlN区（蓝线）及界面区（绿色填充）声子谱。底部为计算声子态密度10.1038/s41586-025-09108-6
晶格动力学模拟：在材料设计中，通过计算第一布里渊区的声子谱，可预判材料的稳定性，如无虚频声子谱表明晶格振动稳定，不会发生结构畸变；同时，光学支声子的频率可用于设计压电材、红外探测材料。
布里渊区是理解周期性结构中波行为的 “桥梁”。布里渊区并非独立概念，而是 “倒空间（倒格子）与波传播特性” 结合的产物，其中第一布里渊区因对称性高、包含所有波的简约状态，成为分析晶体电子、声子等性质的核心工具。
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