说明：本文华算科技介绍了布里渊区的核心知识，包括其定义、构造及高阶区等内容，并强调了其在固体物理中的重要作用，如作为能带结构地图、决定材料电学性质、关联声子谱与晶格动力学等。同时探讨了布里渊区在应变、电场、磁场和掺杂、无序下的调控与演化。
要理解布里渊区，首先必须掌握两个基础概念：晶格的周期性和倒易空间。
晶格的周期性：晶体最显著的特征是其内部原子（或离子、分子）在空间中呈周期性排列，形成所谓的晶格。这种周期性意味着晶体内部的物理环境，如势能场V（r），也具有相同的平移对称性。即对于任何一个晶格矢量R，都有V（r+R）=V（r）。
DOI: 10.1021/cm5037524
倒易空间：对于在周期性势场中运动的波，直接在实空间中描述其行为十分复杂。为了简化分析，物理学家引入了倒易空间的概念。
倒易空间是实空间晶格的傅里叶变换。每一个实空间晶格都唯一对应一个倒易晶格。倒易晶格中的矢量（称为倒格矢，通常记为G）与晶格衍射现象紧密相关，其定义的平面族（hkl）恰好满足布拉格衍射条件。
因此，倒易空间是分析晶体中波的传播、散射和能量状态的天然场所。
DOI: 10.4208/cicp.OA-2021-0094
布里渊区是倒易空间中的一个基本单元（或原胞），它唯一地定义了晶体中所有不等价的波矢k的集合。
换言之，任何一个在晶体中传播的波，其波矢k都可以通过加上一个倒格矢量G而映射到布里渊区内的一个等效波矢k’上，而这两个波矢描述的物理状态是完全相同的。因此，只需要研究第一布里渊区内的物理性质，就足以了解整个晶体的电子或声子行为。
从几何上看，第一布里渊区被精确定义为倒易空间中环绕原点（k=0，即Γ点）的维格纳–赛兹原胞。一个点若位于第一布里渊区内，意味着它离倒易空间原点的距离比离任何其他倒格点的距离都更近。
这个定义确保了第一布里渊区是不重叠、无间隙地覆盖整个倒易空间的基本单元，并且完整地包含了晶格的所有对称性。
布里渊区构造步骤
（1）构建倒易晶格：首先，根据晶体的正空间（实空间）晶格，构建出其对应的倒易晶格。每一个倒易格点代表了一族满足布拉格衍射条件的晶面。
（2）选择原点：在倒易空间中，选取一个倒格点作为原点（通常记为Γ点）。
（3）连接近邻：从该原点出发，连接到其所有最近邻以及次近邻的倒格点，形成一系列倒格矢G。
（4）构造垂直平分面：对每一条连接线（倒格矢G）作垂直平分面。这些平面在物理上被称为布拉格平面，因为它们定义了发生相长干涉（衍射）的条件。
（5）围成最小体积：这些垂直平分面将在原点周围围成一个封闭的多面体。这个体积最小的封闭多面体，就是第一布里渊区。
第一布里渊区之外的区域可以被划分为高阶布里渊区。第n布里渊区被定义为从原点出发，需要穿过（n-1）个布拉格平面才能到达的点的集合。
尽管高阶布里渊区在理论上存在，但在实际应用中，由于倒易空间的周期性，任何高阶布里渊区中的点都可以通过加上一个倒格矢G平移回第一布里渊区内，而物理性质（如电子能量）保持不变。因此，第一布里渊区包含了描述晶体中所有波矢行为的全部独立信息。
DOI: 10.4208/cicp.OA-2021-0094
布里渊区不仅仅是一个几何构造，它在固体物理中扮演着至关重要的角色。
能带结构的地图
电子的能量E是其波矢k的函数，即E（k）。这个关系被称为能带结构或色散关系。由于晶格的周期性，E（k）在倒易空间中也具有周期性，其周期就是倒格矢G。
因此，只需要研究第一布里渊区内的E（k）关系，就能了解整个倒易空间的情况。布里渊区就像一张地图，所有的电子态都可以在这张地图上找到自己的位置。
DOI: 10.1021/cm5037524
高对称点与对称线
在布里渊区的中心、顶点、棱和面的中心等位置，通常具有较高的对称性，这些点被称为高对称点，例如Γ，X，M，K，L等。连接这些高对称点的路径被称为高对称线。电子能带在这些点和线上常常出现极值（极大值或极小值）或简并，它们是分析能带结构的关键所在。
DOI: 10.1021/acs.chemmater.8b04542
决定材料电学性质
材料是导体、半导体还是绝缘体，很大程度上取决于其费米面（在绝对零度下电子占据的最高能级的等能面）与布里渊区边界的相对位置。
金属：费米面穿过一个或多个能带，且通常与布里渊区边界相交，存在自由电子，导电性好。
绝缘体：价带被电子完全填满，导带完全空着，且价带顶与导带底之间存在一个较宽的能隙。费米能级位于能隙中，没有自由电子。
半导体：与绝缘体类似，但能隙较窄。其导带底和价带顶的位置（是否在布里渊区同一个k点）决定了它是直接带隙还是间接带隙半导体，这直接影响其光学性质。
声子谱与晶格动力学
与电子类似，晶格振动（声子）的色散关系w(q)（其中w是频率，q是声子波矢）也是在布里渊区内定义的。通过分析布里渊区内的声子谱，可以了解材料的热学性质如热容、热导率、声学性质以及与其他准粒子如电子、光子的相互作用。
布里渊区作为一个静态的几何概念，其形状和大小与晶格结构一一对应。然而，当晶体受到外部场或内部扰动时，其对称性可能发生改变，从而导致布里渊区的有效演化。
外部场的影响
（1）应变与电场
施加外部应变或强电场可以直接改变晶体的晶格常数和对称性，例如将立方晶格拉伸为四方晶格。这种晶格畸变会导致倒格矢量的变化，从而直接改变布里渊区的精确形状和大小。例如，在二维材料中施加单轴应变，可以将六边形的布里渊区扭曲为菱形。
DOI:10.1039/D2NR07252A
（2）磁场
均匀磁场：对于均匀直流磁场，如果它不破坏晶格的平移对称性，那么传统的布里渊区定义不会改变。然而，在强磁场下，电子的运动受到洛伦兹力的影响，其动力学会发生根本性改变。
非均匀磁场：非均匀磁场会破坏晶格的平移对称性，这使得传统布里渊区的概念不再严格适用。在这种情况下，通常需要采用更局域化的方法或超胞方法来分析电子结构。
内部扰动的影响
掺杂与无序：在理论上，掺杂和无序破坏了晶格的完美周期性，这意味着布里渊区的概念在严格意义上被破坏了。然而，在许多情况下，特别是当扰动较弱时，可以引入有效布里渊区或谱函数的概念。无序会使能带展宽，高对称点处的尖锐特征变得模糊，但布里渊区作为描述电子态平均行为的框架仍然有效。
DOI: 10.4208/cicp.OA-2021-0094
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