径向分布函数（Radial Distribution Function,RDF），通常用符号g(r)表示，是统计力学和凝聚态物理中一个用于描述系统内粒子（如原子、分子）如何随距离分布的核心函数。从物理意义上讲，它描述了以一个任意粒子为中心，在距离其为r的地方找到另一个粒子的概率密度，并与一个完全随机分布（即理想气体）的系统进行比较。
图1 DOI: 10.1021/acs.jpcb.2c04019
g(r)的值可以直观地揭示粒子间的空间相关性：
g(r)>1：表明在距离r处找到另一个粒子的概率大于随机分布，意味着粒子在该处倾向于聚集，形成了某种有序结构，如溶剂化壳层或晶格位置。
g(r)：表明在该距离找到粒子的概率小于随机分布，通常是由于粒子间的排斥作用。
g(r)→1(当r很大时)：表明在长程距离上，粒子间的相关性消失，分布趋于宏观平均密度，即均匀随机分布。
g(r)=0(当r很小时)：表明由于粒子自身的体积和核间排斥，两个粒子不可能无限接近，存在一个排斥核（excluded volume）。
在数学上，Allen和Tildesley为计算机模拟提供了一个常用的定义：
其中，Vol是系统的体积，N是系统中的粒子总数，
表示系综平均（即对模拟过程中的多个时间步或构型进行平均）。这个公式的核心思想是统计所有粒子对之间的距离，并通过体积和粒子数进行归一化。
更具操作性的定义是，将g(r)定义为距离中心粒子r处的局部粒子数密度ρ(r)与系统宏观平均粒子数密度ρbulk的比值：
这个定义更加直观，清晰地揭示了其作为相对概率密度的本质。值得注意的是，径向分布函数是连接微观模拟与宏观实验的重要桥梁，因为它可以通过X射线衍射或中子散射等实验技术间接测量得到，从而可以验证理论模型和模拟结果的准确性。
图2 DOI: 10.1016/j.scp.2023.101099
径向分布函数作为一个强大的分析工具，在多个科学领域中被广泛用于揭示物质的微观结构和相互作用规律。
1、材料科学与凝聚态物理
在材料科学中，g(r)是表征材料结构（无论是晶态、非晶态还是液态）的基本工具。
结构识别与相变分析：晶体材料的g(r)图像会呈现一系列分立、尖锐的峰，对应其规则的晶格结构。而非晶材料（如玻璃）或液体的g(r)则显示出几个宽化的峰，表明其只存在短程有序而缺乏长程有序。通过在不同温度下计算g(r)，研究人员可以监测材料的相变过程，如熔化或玻璃化转变，峰的锐度和位置变化能精确反映结构的变化。例如，可以研究石墨烯等组分对复合材料结构稳定性的影响。
缺陷与无序度分析：通过与理想晶体的g(r)对比，可以分析实际材料中的缺陷、位错等对原子排列的影响。
2、液体物理
对于液体而言，g(r)是描述其结构特征最重要的方法之一。液体既不像气体那样完全无序，也不像固体那样具有长程周期性。g(r)能够精确地揭示液体中存在的短程有序结构。第一个尖锐的峰代表了中心粒子周围的第一层“溶剂壳”，后续逐渐衰减并趋于平缓的振荡则代表了第二、三层壳层，反映了粒子间相互作用的强度和范围。
3、分子动力学与生物分子模拟
在分子动力学（MD）模拟中，g(r)是最常用和最基础的分析手段之一，用于验证模拟体系的合理性和分析结构信息。
水合作用与溶剂化：通过计算溶质分子（如蛋白质、DNA）与周围水分子之间的g(r)，可以清晰地描绘出水合层（hydration shell）的结构。峰的位置和面积可以定量地给出水合层的位置和该层内的水分子数量（即配位数），这对于理解生物大分子的稳定性、折叠和功能至关重要。
图3 DOI: 10.1016/j.molliq.2022.119742
离子对与相互作用：计算溶液中阴阳离子间的g(r)可以揭示离子配对（ion pairing）或聚集的程度。例如，特定官能团之间的g(r)可以用来分析氢键、盐桥等非共价相互作用的强度和几何特征。
机理研究：通过追踪反应过程中特定原子对之间g(r)的变化，可以深入了解化学反应或构象变化的微观机理。
径向分布函数g(r)是一个描述系统微观结构和粒子间空间相关性的核心物理量。它通过统计粒子对的距离分布，直观地揭示了从气态、液态到固态的结构特征，并能定量分析配位数、相互作用距离等关键信息。
作为连接计算机模拟与实验衍射数据的坚实桥梁，g(r)在物理、化学、材料科学和生物学等众多前沿领域中，都是不可或缺的基础分析工具。
