说明：本文华算科技主要介绍均方位移 MSD 的统计定义、曲线坐标与时间标度，以及从位移增长求取自扩散系数的条件。
均方位移 MSD 的定义与统计来源
分子动力学逐帧记录原子的位置，粒子追踪实验记录颗粒的坐标。对于选定的同一类粒子，相隔 τ 的两个位置之差写为 Δri=ri(t0+τ)−ri(t0)。MSD 是这些位移模长平方的平均值，即 MSD(τ)=⟨|Δri|2⟩。τ 称为延迟时间，可以跨越许多次轨迹采样。
平方在平均之前完成。假设一半粒子向左移动 a，另一半向右移动 a，平均位移为零，MSD 为 a2。水中二氧化硅微球的轨迹含有频繁的方向改变；任选两个时刻相减，就能计算相应位移。沿整条轨迹累加的路程则随着往返运动持续增加。
尖括号可以表示粒子平均、时间起点平均或独立轨迹平均。单条轨迹的时间平均 MSD，通常把长度为 τ 的片段沿轨迹移动后求平均；粒子平均使用同一延迟时间下的一组粒子。平衡且遍历的体系，经充分采样后两类平均可趋于一致；老化体系的运动统计会随起始时刻变化，平均方式会影响曲线。
三维总位移满足 |Δr|2=Δx2+Δy2+Δz2。横向分量、平面内位移和三维总位移采用不同的平方和。MSD 的单位是长度平方，例如 Å2；√MSD 才具有长度单位。它给出一组位移的均方根尺度，少数远距离运动会增大这个平均值。
AIMD 使用第一性原理计算的原子受力推进轨迹，经典 MD 则按力场求取受力，两类轨迹采用相同的 MSD 统计定义。比较不同元素时，分别对各类原子平均，可避免把迁移离子与近乎静止的骨架原子合并统计；若要研究整个分子的平移，则使用分子质心坐标。
采用周期晶胞模拟时，原子穿过晶胞面后仍要连续累计位移。若每帧都把坐标折回原胞，跨面运动可能产生一个晶胞长度的假跳跃，长时间位移也可能停留在有限范围内。由连续轨迹计算的 MSD，才保留跨晶胞迁移的长度。
线性斜率和双对数斜率分别表示什么？
两类斜率和 MSD/τ
在线性坐标中，斜率是 dMSD/dτ，单位为长度平方除以时间。若 MSD=Aτα，线性斜率为 αAτα−1，一般随 τ 改变。双对数坐标的局部斜率则写为 α(τ)=d ln(MSD)/d ln τ，是无量纲指数；曲线在某段呈直线时，该段可近似用一个幂律描述。
MSD 与时间成正比时，双对数斜率为 1；增长较慢时，01 对应超线性增长。两条斜率同为 1 的曲线可以具有不同幅度，因而具有不同的扩散系数。光学散斑场中的二氧化硅微球实验，把 MSD、MSD/τ 和局部指数分别作图，用这些量比较不同光功率下的运动。
散斑场产生空间无序的光学势阱。随延迟时间增加，微球经历短时线性增长、中间减速、长时重新线性增长。中间区的 MSD/τ 持续下降，局部 α 低于 1；长时 MSD/τ 逐渐平坦，α 回到约 1。图中 a、c 的时间平均曲线经过纵向平移；b、d 对各条时间平均曲线再作粒子平均，保留未平移的结果。
短时惯性与暂时受限运动
热平衡原子体系在远短于速度相关时间的区间内，位移近似为 v(0)τ，得到MSD≈⟨v2⟩τ2，即弹道区。碰撞改变速度方向后，时间标度随之改变。过阻尼的胶体观测常从惯性已衰减之后开始，记录到的最短时间区间就可能近似线性；各类曲线无需具有相同的短时阶段。
粒子在邻近粒子形成的局域笼中振动时，MSD 可暂时接近平台；结构重排发生后，位移继续增长。一维分区介质模型给出了另一种减速来源：粒子在分区内部快速扩散，穿过低渗透率分隔面需要较长时间。其短时与长时 MSD 都近似正比于时间，中间区却明显弯曲。
若观测只覆盖弯曲区，一段 α暂时减速误写成长时幂律。在该模型中，延长时间后曲线恢复线性，长时扩散系数低于分区内部的短时值。持续平台则要求位移在相应时间范围内没有继续增长；一段有限长度的平台无法确定更晚时刻是否发生重排。
MSD 相近时，粒子运动是否相同？
一组粒子多数位移很小、少数位移很大，另一组粒子的位移较为均匀，两组可以具有相近的位移二阶矩 MSD。判断是否存在快慢粒子群，需要统计每个延迟时间下的位移分布；远距离位移出现的频率会反映在分布尾部。
Kob–Andersen Lennard-Jones 玻璃形成液体把位移模长除以 √MSD后作图，纵轴按相应空间维数归一化。二维与三维模型都出现偏离红色高斯参照的尾部。均方位移确定了长度尺度，重标度后的分布形状仍随时间改变；二维模型在较晚时刻逐渐接近高斯参照。
MSD 近似线性增长时，非高斯位移分布仍可持续存在。局部运动速率不同、粒子对邻近环境的采样尚未充分，都可能造成分布中心与尾部偏离高斯形状。MSD 的线性增长约束平均平方位移随时间的变化，对每一粒子在该时间内经历了多少次重排没有逐一规定。
受剪切的软颗粒模型也出现线性 MSD 与非高斯分布共存。此处统计的是梯度—涡量平面内的非仿射位移，避开沿流动方向的整体剪切位移；模型没有热噪声，短时平方增长来自剪切诱导的持续运动。它与热平衡原子的惯性运动具有不同驱动来源。
该二维平面内的非高斯参数定义为 α2=⟨r4⟩/(2⟨r2⟩2)−1，其中 r 是平面位移模长。零均值、各向同性的高斯位移给出 α2=0；正值表示四阶矩相对高斯参照增大。α2 与双对数斜率 α 统计不同的量，前者衰减到很小时，分布尾部仍可继续用位移直方图核对。
存在整体漂移时，原始二阶矩满足 MSD=⟨|Δr−⟨Δr⟩|2⟩+|⟨Δr⟩|2。恒定漂移速度产生 |v|2τ2 项，使总 MSD 出现平方增长。去掉平均漂移后得到围绕平均运动的位移涨落；研究迁移方向和研究扩散涨落，应保留各自采用的参照。
怎样从曲线求自扩散系数？
在无平均漂移、长时正常扩散条件下，各向同性体系满足 MSD≈2dDτ+b，D 为自扩散系数，d 是参与平方和的空间分量数，b 表示长时拟合的截距。三维总 MSD 的线性斜率为 6D；平面内为 4D；单个 x 分量满足 ⟨Δx2⟩≈2Dxxτ。晶体中不同方向的扩散系数可以不同。
一维分区介质模型把 D(τ)=MSD/(2τ) 作为时间相关扩散量。跨越分隔面所需的等待时间降低长时间的位移增长速率，不同渗透率的曲线逐渐接近各自的平台。若所观测区间内该比值仍持续下降，拟合所得数值会随时间窗口移动。
用 MSD 除以 2dτ，与用局部导数除以 2d，在过渡区通常得到不同数值。即使 MSD=2dDτ+b，前一种算法也含有 b/(2dτ) 项；只有长时间截距贡献可忽略时，两种算法才趋于同一个 D。图中的 D(τ) 使用比值定义，曲线的下降过程包含短时扩散向长时扩散的过渡。
二维硬球型胶体、二维软盘模型，以及二维和三维 Lennard-Jones 模型，把时间除以 τF、MSD 除以 ξF2后，长时曲线都接近单位斜率。该图按 τF=ξF2/(2dD) 定义时间标尺，重标度已经消去了 D。恢复实际 D 需要原始时间尺度和长度尺度，再由 ξF2/(2dτF) 计算。
延迟时间越接近总轨迹长度，可用于平均的片段越少。重叠片段共享同一段运动，相邻 MSD 点的误差也存在相关。增加同一轨迹的时间起点，可以平滑曲线，却不会按片段数产生同等数量的独立样本；分段或独立重复得到的斜率差异，能够检验 D 的统计波动。
短时间 AIMD 若尚未采到跨位点迁移，原位振动产生的 MSD 反映振幅和已观测时间内的运动范围。把这种曲线的局部斜率换算成 D，会把振动的采样波动当成长程迁移。对已经出现多次位点迁移的轨迹，拟合窗口前后移动时斜率应在统计误差内保持一致。离子电导率还包含不同离子位移之间的相关项，单粒子平方平均给出的自扩散系数没有记录这些交叉项。
