说明：本文华算科技主要介绍小波系数、尺度分解、局部极值和脊线分别记录哪些信号特征，以及趋势、周期、突变与噪声怎样分布在不同尺度层中。
材料实验产生的曲线很少从头到尾保持同一种节奏。温度缓慢漂移会形成低频基线，晶体开裂会产生短促脉冲，旋转部件的振动频率会随转速移动，光谱峰叠加宽背景与窄峰。同一条曲线容纳长时间趋势和短时间细节，单一频率表只统计整段数据中有哪些周期成分，却不保留各成分出现的局部坐标。晶体开裂的毫秒脉冲与炉温漂移会占据完全不同的时间范围。
小波变换选取一段均值为零、持续时间有限的波形作为母小波，再对它做平移和伸缩。平移参数沿时间轴或空间轴移动，伸缩参数改变波形覆盖范围。窄小波响应快速局部变化，宽小波响应缓慢起伏，原始曲线由此展开成“位置—尺度—系数”三组量。每个系数都绑定一个采样坐标和一个尺度编号。
尺度与物理频率通过换算关系相连。在给定母小波和采样间隔后，尺度才能换算成伪频率：大尺度对应低频、长周期成分，小尺度对应高频、短周期成分。采样间隔改变，同一个尺度编号对应的物理频率随之改变，时间序列中的秒、拉曼位移轴上的 cm−1、显微图像中的像素距离各有自己的换算关系。换算表由母小波中心频率与采样间隔计算。
局部匹配怎样变成系数？
每个小波系数都是局部数据与某个平移、伸缩后小波的内积。局部波形与小波形状越相似，系数绝对值越大；局部数据与小波方向相反，系数符号随之反转。系数绝对值记录匹配强度，正负号记录相对方向，复小波系数还带有相位。把系数画成颜色时，色标究竟代表实部、绝对值、功率或对数功率，必须由坐标标注和计算式确定。相同颜色在两套色标中未必对应相同数值。
系数大小还受归一化方式控制。常见连续小波公式含有 1/√a，使不同尺度的小波保持相同能量；若软件输出功率谱，则数值常取 |W(a,b)|²。跨尺度比较前要核对尺度归一化，跨样品比较还要固定采样间隔、母小波参数、色标范围和输入信号归一化方式。缺少其中任一参数，系数幅值就失去统一量尺。
母小波的形状会改变局部匹配结果。Morlet 小波含有高斯包络振荡，适配局部周期；Mexican hat 对孤立峰和曲率变化敏感；Haar 小波由阶跃组成，对突跳和边缘响应强。相同原始数据换用不同母小波会得到不同系数纹理，热点的尺度宽度和位置分布随之变化。波形匹配程度决定系数纹理，样品状态没有在变换步骤中改变。
离散小波分解把信号送入低通与高通滤波器。低通支路留下缓慢变化的近似分量 A，高通支路留下快速变化的细节分量 D；继续分解 A 后，会形成 Aj、Dj、Dj−1 等分量。分解级数越深，近似分量覆盖的周期越长，各级细节分量占据不同频带。A 与 D 的频率范围由滤波器组逐级划分。
一条含慢漂移、周期振荡和尖峰的曲线经过分解后，Aj保留基线，某一级 D 对应周期波动，最细一级 D 聚集尖峰与高频噪声。频带范围由采样率和分解层数共同限定。采样频率为 fs 时，理想二进频带大致按 fs/2、fs/4、fs/8 逐级划分，真实滤波器会带来过渡带与端部泄漏。
二维小波把高通方向分别形成水平、垂直和对角细节。晶界、裂纹、颗粒轮廓和条纹会在相应方向的系数层中增强。阈值过低会保留随机颗粒噪声，阈值过高会削弱细裂纹和弱轮廓；重构图像与原图之间的残差保留被删除的空间频率成分。
突变点附近的系数会在多个尺度上形成模极大值。沿尺度方向连接各个极大值，得到极大值线；局部峰越尖，响应越集中在小尺度，宽峰则延伸到更大的尺度。极大值线在位置轴上的交点对应突变坐标，它随尺度衰减的速率还与信号的局部正则性相关。阶跃、尖点和平滑峰具有不同的衰减指数。
周期随时间改变时，高能量系数会沿时间—频率平面形成脊线。脊线的纵坐标给出局部主频，横向轨迹记录主频随时间的漂移；复系数相位沿脊线的变化还能计算瞬时相位和相位差。一条连续脊线对应持续振荡模态，脊线中断则对应振荡消失、信号过弱或端部效应。持续振动在时间轴上留下连贯能量带。
序列两端的小波会伸出数据范围，补零、镜像延拓或周期延拓会改变端部系数。连续小波图常用影响锥标出端部区域，影响锥以内的脊线置信度较低，该区域的能量带会受数据截断方式影响。缺失点、截断和非均匀采样会制造局部高系数，异常坐标应与原始曲线同步核对。
趋势提取选择较深层近似分量，周期追踪读取连续小波脊线，突变定位读取跨尺度模极大值，降噪则对细节系数设置阈值后执行逆变换。这四类任务读取的系数对象不同。高频系数阈值只处理特定频带的噪声：低频漂移会分配到近似分量，窄脉冲既可来自事件，也可来自电噪声。两者在重复性、幅值分布和多个探测器的同步关系上各有特征。
光谱序列中，局部峰位和峰宽分布在不同尺度；声发射数据中，短脉冲到达时间与持续宽度形成局部极值簇；显微图像中，颗粒轮廓、裂纹方向和表面纹理分布在不同方向细节层；量子发光时间序列中，强度起伏变成二维尺度纹理。小波域保留原始信号与选定小波在各位置、各尺度上的匹配关系，系数矩阵对应选定母小波和采样坐标，材料含义仍由采样条件、物理模型和同批样品的独立测量限定。
同一批数据比较时，采样率、数据长度、母小波、中心频率、分解层数、端部延拓和系数归一化应保持一致。参数变化会移动频带范围、改变热点宽度和重构残差。最终可报告的量包括局部主频、持续时间、突变坐标、尺度能量、相位差、方向细节和重构分量，各个数值还对应明确的变换参数。参数表应保留母小波名称、尺度范围和端部延拓方式。
