说明：本文华算科技将从费米能级的基本定义、与能带结构的关系，以及在现代材料科学中的应用三个层面，对其进行系统性阐述。
什么是费米能级
从根本上说，费米能级是一个热力学概念，它被精确定义为在任意温度下，一个电子能量状态被占据的概率为50%（即1/2）的那个能量值。这个定义源于描述费米子（如电子）统计分布规律的费米-狄拉克分布函数。
其中，E是能量，EF是费米能级，KB是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。从该公式可以看出，当能量E=EF时，占据概率f(E) 恒为0.5。因此，费米能级是电子填充能级的能量“分水岭”或参考点。
费米能级的物理内涵可以从以下几个角度理解：
电子的化学势：在多电子体系中，费米能级等同于电子的化学势（μ）。它代表了向系统中增加一个电子所需要的能量（不包括将其从无穷远处移来所需的静电势能）。
这一定义揭示了其作为热力学平衡条件的本质：当两个相互接触的导体达到热力学平衡时，它们的费米能级必须彼此对齐。
绝对零度下的意义：在绝对零度（T=0K）时，费米-狄拉克分布函数变为一个阶跃函数。所有能量低于费米能级的量子态都被电子完全占据，而所有高于费米能级的量子态则完全空着。
此时，费米能级就是系统中能量最高的被占据电子态的能量。在这种特定情况下，费米能级也被称为费米能，后者通常指一个固定的能量值，而费米能级则会随温度、掺杂等因素变化。
决定材料电子性质的核心参数：费米能级的高低直接关联到材料的功函数，即从材料表面移出一个电子到真空中所需的最小能量。此外，它还决定了材料的导电类型、载流子浓度以及对外部激励（如光、电、热）的响应，是判断和预测材料电子学特性的最重要参数之一。
DOI: 10.1021/acs.jpclett.1c00278
费米能级与电子能带结构的关系
材料的导电性能主要由其电子能带结构以及费米能级在其中的相对位置共同决定。
金属：在金属中，价带和导带发生重叠，或者导带仅被部分电子填充。其关键特征是费米能级位于这个未被填满的能带内部。这意味着在费米能级附近，存在着大量能量非常接近的空量子态。
因此，只需施加一个微小的电场，费米能级附近的电子就能轻易获得能量跃迁到这些空态，形成宏观电流。这是金属拥有优异导电性的微观根源。
半导体与绝缘体：这两类材料都具有明显的能带结构，即被一个没有电子态的区域禁带隔开的价带和导带。它们的费米能级都位于禁带之内。
本征半导体：在纯净的半导体中，电子和空穴浓度相等，费米能级大致位于禁带的中央。
N型半导体：当在半导体中掺入施主杂质（如在硅中掺入磷）时，会提供额外的电子。这些多余的电子使得电子成为多数载流子，从而将费米能级推向更高的能量位置，使其靠近导带底。费米能级越接近导带，导带中的电子浓度越高。
P型半导体：当掺入受主杂质（如在硅中掺入硼）时，会产生大量的空穴作为多数载流子。这会有效地将费米能级拉向更低的能量，使其靠近价带顶。
绝缘体：能带结构与半导体类似，但其禁带宽度（通常> 3 eV）要大得多。这导致其费米能级深陷于宽阔的禁带中，在通常条件下，电子几乎不可能从价带获得足够能量跨越禁带到达导带，因此表现出极低的导电性。
费米能级的应用
二维材料：在石墨烯、过渡金属硫化物等二维材料中，研究人员可以通过施加栅极电压、化学掺杂或构建异质结等手段，在很大范围内连续、动态地调节费米能级。
这种强大的调控能力使得在单一器件上实现P型、N型导电甚至诱导出超导、拓扑相等新奇物态成为可能，为开发高性能场效应晶体管和新型量子器件铺平了道路。
DOI：10.1016/j.apcatb.2023.123469
拓扑材料：在拓扑绝缘体、外尔半金属等新兴量子材料中，许多新奇的物理现象（如无耗散的边缘态导电）仅在费米能级精确位于体能隙或与特定的能带奇点（如狄拉克点、外尔点）重合时才能观测到。
因此，利用离子注入、表面吸附等技术进行精密的费米能级调控，是探索和利用这些材料量子特性的核心实验手段。
能源与催化材料：在热电材料中，通过费米能级工程优化载流子浓度，可以在塞贝克系数和电导率之间取得最佳平衡，从而最大化能量转换效率。
在光伏和电催化领域，通过调整材料的费米能级，使其与反应物或相邻材料的能级更好地匹配，可以极大地促进光生电荷的分离与转移，从而提升器件性能。
结论
费米能级作为一个看似抽象的物理量，实则深刻地支配着材料内部电子的行为准则。从经典半导体物理到最前沿的量子材料研究，它始终扮演着无可替代的角色。理解费米能级的定义、物理意义及其与能带结构的关系，是掌握材料科学的基石。
