E–k 图与 E–x 能带图辨析：斜率、曲率、带隙、费米能级和局域电子态的使用边界

说明：本文华算科技主要介绍 E–k 图与 E–x 能带图的自变量、计算来源、斜率和曲率的物理含义，以及带隙、费米能级和局域电子态的使用条件。

E–k图和E–x图的基本定义？

周期晶体中的电子态用能带编号 n 和波矢 k 标记，E_n(k) 给出各态的本征能量。E–k 图记录电子能量随波矢的变化，k 表示波函数跨越晶格平移后的相位关系，常用单位为 Å⁻¹。E–x 图则把位置 x 作为横轴，画出局域导带底 E_C(x)、价带顶 E_V(x) 等能量轮廓，x 可以是离表面的深度或穿过结区的距离，单位常为 nm。

常规 DFT 能带来自自洽电子密度所确定的 Kohn–Sham 有效势；沿选定波矢路径求解本征值，得到多支曲线。E–x 带边轮廓还需指定空间非均匀结构和电势条件，例如掺杂结、表面电荷或外加偏压。原子层分辨电子态、芯能级位移和连续静电模型可以参与构造该轮廓，单个均匀体相原胞没有包含完整器件的结区。

在 Bi₂Se₃ 表面势阱中，电子沿表面传播，并沿法向形成受限的量子阱态。面内波矢 k_∥ 与法向位置 x 可以同时用于描述电子态：色散给出能量随 k_∥ 的变化，空间波函数给出电子分布的深度。原图还包含泵浦后随时间演化的信号，其时间轴另以 ps 标记。

均匀材料内部可以有水平的 E–x 带边和弯曲的 E–k 色散。前者表示各处带边相同，后者仍反映晶体周期势中的电子运动。E–k 图里的 Γ、X、L 等字母是倒易空间标签；高对称点 X 与位置坐标 x 各有定义，图中相似的字母和曲线外形没有建立二者之间的坐标变换。

两类曲线的斜率和曲率各对应什么物理量？

在可平滑追踪的单支能带中，一维群速度满足 v = ℏ⁻¹dE/dk。带底附近若可作抛物线近似，电子的曲率有效质量为 m^* = ℏ²/(d²E/dk²)。这里的导数自变量始终是波矢，绘图横轴若只按点序号排列，必须恢复真实 k 间距后才能求导。路径转角两侧沿不同方向，求导时也应分别处理。

Si 的导带包含多个能谷，价带还有重空穴、轻空穴和自旋轨道分裂支。均匀单轴应变会改变谷的相对能量及各支曲率，每一组色散仍对应一个周期结构。原图底部的带边能量—应变曲线将多个结构的结果并列比较，横轴的应变百分数没有表示样品里的位置。

Si 的导带谷沿纵向和横向具有不同曲率，相应有效质量按晶向分别计算。价带极大值处的电子曲率质量为负，采用空穴描述时通常报告正的空穴质量；态密度有效质量还汇总能谷形状、简并数或多个价带的贡献。输运计算另须计入声子散射等过程，某条 E–k 曲线的曲率没有给出全部迁移率。

在成分固定、局域带结构近似不变的半导体内，可写 E_C(x) = E_C⁰ − qφ(x)，q 为正的元电荷，φ 为静电势。电场 ℰ_x = (1/q)dE_C/dx，电子受力 F_x = −dE_C/dx；带边沿 x 升高时，电子的静电力指向负 x 方向。该斜率的量纲是能量除以长度，和 dE/dk 的量纲不同。

在成分固定且局域色散近似不变的区域，泊松方程把 E–x 曲率与空间电荷密度相连：d²E_C/dx² = qρ_ch(x)/ε，式中介电常数 ε 取常数，ρ_ch 是总空间电荷密度。m^* 的定义仍取自 E–k 曲率。若材料成分、应变或界面成键也随 x 变化，带边梯度还包含局域带结构的变化，使用静电势关系时须另行计入这些贡献。

带隙和费米能级在两类图中怎样使用？

周期晶体的基本带隙由整个布里渊区内的带边极值确定，即导带最低能量减去价带最高能量。两处极值是否位于同一 k 点，决定直接或间接带隙。E–x 图通常只保留各位置的 E_C 和 E_V；两条线之间的间隔给出局域带隙，波矢标签已经省略，直接/间接分类仍须查询相应 E–k 色散。

在均质材料的纯静电移动近似下，导带底与价带顶移动相同能量，局域带隙保持不变。异质结两侧成分不同，界面处可以出现带偏移；强杂化或应变也可能改变局域带隙。空间分离的电子与空穴属于位点分布问题，价带顶与导带底分处不同 k 点则属于晶体动量问题。

热平衡时，连通体系具有统一的电子电化学势。E–x 带边可以弯曲，平衡费米能级 E_F 仍为水平线。光照或偏压下，电子与空穴可能分别用准费米能级 E_Fn、E_Fp 描述。Bi₂Se₃ 表面的模拟显示，光生电压削弱表面带边弯曲，量子阱态与电子准费米能级随之变化。

相对于 E_Fn 的能级移动含有参照本身的变化。同一量子阱态的绝对能量、它与准费米能级的距离、以及电子占据数，须分别比较。两份独立 DFT 计算若各自把 E_F 设为零，图上带边高低也没有共同的绝对参照；跨材料对齐时可采用一致的真空能级或经过校准的平均静电势。

DFT怎样同时保留波矢与空间信息？

周期体相 Ca₃P₂ 的计算沿布里渊区路径给出电子色散，并按 Ca、P 投影态密度。体相 E–k 图保留能带与波矢，没有表面深度标记。要研究表面，模型须包含实际表面终止和结构弛豫；薄板沿表面平行方向仍有周期平移对称，法向则由不同原子层区分。

将薄板电子态投影到第 i 层，可构造 A_i(k_∥,E) = Σ_nw_i,n,k∥δ[E − E_n(k_∥)]，其中 w 是该态在该层的权重。同一个本征态可在多个层谱中出现，强度随空间分布改变。固定层号后画能量—波矢图，便能比较表面与内部的谱权重、能量位置和局域态。

对面内波矢求和后才得到层分辨态密度，求和还需使用 k 点权重。对有明确局域带隙的半导体，层态密度的带边可用于重建 E_C(x)、E_V(x)；Ca₃P₂ 属于半金属，其层谱应讨论具体能态的分布和重构，不能强行按处处存在禁带的半导体处理。

原子尺度电势振荡、平滑静电弯曲和界面杂化具有不同来源。前者随原子层周期起伏，平面及宏观平均可提取较长尺度的电势轮廓；界面新成键还会改变态的组成。有限厚度薄板若没有覆盖真实耗尽宽度，原子计算所得局域势差可与包含掺杂、介电响应及接触条件的泊松模型衔接。

只有本征能量列表时，空间权重并未给出。从 E_n(k) 重建表面带边还缺少波函数、哈密顿量及电荷分布；对一组色散曲线作傅里叶变换，不能生成对应器件的 E–x 轮廓。层分辨谱与局域电势联合保留表面终止、原子位置和面内波矢，才可检查能量变化来自静电移动还是局域成键。