说明：费米能级是描述电子能态占据概率的核心参数，绝对零度时为占据态与非占据态分界，有限温度下遵循费米–狄拉克分布，等同于电子化学势。其在半导体中决定载流子类型，金属中位于导带，是连接微观电子结构与宏观性质的桥梁。
通过结合不同泛函计算，应用于能带分析、输运性质及缺陷研究，前沿聚焦量子材料与低维体系调控，为材料设计提供关键依据。
什么是费米能级？
费米能级是量子统计力学中描述费米子（如电子）能态占据概率的核心参数，其物理意义与统计分布特性共同构成了理解固体电子结构与宏观性质的基础。
从核心定义来看，在绝对零度时，费米能级（E_F）是电子占据态与非占据态的严格分界能级：所有能量低于E_F的能态被电子完全占据（占据概率为1），所有高于E_F的能态则完全空着（占据概率为0），此时电子分布呈现阶跃函数特征。
DOI：10.1016/j.rinp.2025.108158
当温度升高时，电子的热运动使部分电子获得能量跃迁至E_F以上的能态，此时占据概率遵循费米–狄拉克分布：f (E)=1/[1+exp((E-E_F)/(k_B T))]，其中k_B为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。
该分布函数表明，E_F是电子占据概率恰好为50%的能量点——当E远低于E_F时，f (E)≈1（几乎被占据）；当E远高于E_F时，f (E)≈0（几乎空着）；而在E≈E_F附近，占据概率随能量变化平缓过渡，这一特性直接决定了材料的电学、热学等宏观性质。
从物理本质来看，费米能级具有双重意义：其一，它等同于电子化学势（μ），即系统在恒温恒压下增加一个电子所需的最小能量，反映了电子在系统中的“化学势能” 水平；其二，它标示了能带填充的极限，在k空间中对应费米面的能量位置，费米面则是电子占据态与非占据态的分界面，其形状与拓扑结构对材料的输运性质至关重要。
在半导体中，费米能级的位置是决定载流子类型与浓度的关键因素。对于n型半导体，掺杂引入的施主杂质会向导带提供电子，使费米能级向导带底靠近，此时导带中的电子浓度可通过积分导带态密度与费米–狄拉克分布获得，由于E_F靠近E_c，导带电子浓度显著高于价带空穴浓度。
对于p型半导体，受主杂质会在价带中产生空穴，使费米能级向价带顶移动，此时空穴成为主导载流子。
值得注意的是，半导体的费米能级并非固定值，它会随掺杂浓度、温度及外界条件（如光、电、磁场）变化：温度升高时，本征激发增强，费米能级向禁带中心移动；掺杂浓度提高时，费米能级会更靠近导带（n型）或价带（p型）。
DOI：10.1016/j.jallcom.2025.179318
金属与半金属的费米能级则呈现出独特的特性。金属的费米能级位于导带内部，此时导带与价带重叠，费米能级处的态密度不为零，这意味着存在大量处于费米能级附近的电子，这些电子可在外电场作用下自由移动，使金属具有良好的导电性。
例如，铜的费米能级约为7.0 eV，位于其3d与4s杂化形成的导带中，费米能级处的高态密度使其具有优异的导电性能。
半金属的费米能级则位于能带交叉点附近，此时费米能级处的态密度较低，但能带交叉形成的线性色散关系会产生高迁移率的狄拉克费米子，使其表现出独特的输运性质——如石墨烯的费米能级可通过栅压调控，当费米能级位于狄拉克点时，电导率呈现极小值，而偏离狄拉克点时电导率随载流子浓度线性增加。
这种费米能级的特殊性使半金属在高频电子器件、量子计算等领域具有重要应用潜力。
DOI：10.1002/adfm.202102275
怎么算费米能级？
费米能级的计算方法随理论框架与体系特性的不同而演化，目前以密度泛函理论（DFT）为核心，结合交换关联泛函的改进与迭代算法的优化，实现对不同材料体系的精准计算。
在DFT框架下，费米能级通过总能量对电子数的导数定义，这一定义直接关联电子化学势，表明费米能级是系统电子“化学势能” 的量化指标。
对于非零温度体系，需采用密度矩阵形式描述电子分布，此时费米能级通过自洽条件确定：密度矩阵ρ满足ρ=∑_i f (E_i) |ψ_i⟩⟨ψ_i|，其中|ψ_i⟩为单电子波函数，E_i为其能量本征值，而费米能级E_F则是使电子总数N=Tr (ρ)成立的能量参数。通过约束优化密度矩阵，可迭代求解E_F，确保电子数与系统电荷中性条件一致。
DOI：10.1016/j.jpcs.2025.112898
交换关联泛函的演进对费米能级计算精度的提升起到了关键作用。早期的局域密度近似（LDA）假设交换关联能仅依赖于局域电子密度，忽略了电子密度梯度的影响，导致在非均匀体系中费米能级计算偏差较大——例如，LDA计算的金属表面费米能级与实验值的偏差可达0.5 eV以上。
广义梯度近似（GGA）的出现显著改善了这一问题，其中Perdew-Burke-Ernzerhof（PBE）泛函通过引入电子密度的梯度修正，更好地描述了电子密度的空间变化，使非均匀体系的费米能级计算精度提升约30%，尤其适用于半导体、合金等电子分布不均匀的材料。
对于需要精确描述能带结构的体系，杂化泛函通过混合一定比例的精确交换能与GGA交换关联能，有效解决了传统DFT对带隙的低估问题，进而提升费米能级位置的准确性。
例如，在计算Ge晶体中的二聚体缺陷时，HSE06泛函计算的费米能级与缺陷形成能的关系，比PBE泛函更接近实验测量的电荷跃迁能级，偏差从0.3 eV降至0.1 eV以内。
DOI：10.1016/j.physb.2015.08.015
费米能级的迭代计算流程可通过二维电子气体系为例说明：首先，基于体系的晶体结构与初始猜测的电子密度，设定费米能级的初始值；其次，求解Kohn-Sham方程获得单电子能级E_i与态密度N (E)，并通过积分计算当前电子数N_calc；然后，利用牛顿迭代法求解更新费米能级，其中导数项通过态密度在E_F处的数值计算获得；最后，重复上述步骤直至电子数收敛，此时的E_F即为所求费米能级。
这一流程的核心在于通过自洽迭代平衡电子数与费米能级的关系，确保计算结果满足电荷中性条件，对于复杂体系，还需考虑电荷转移对电子密度的影响，通过引入泊松方程耦合电子密度与静电势，进一步优化费米能级的计算精度。
DOI：10.5282/edoc.188
费米能级应用
费米能级的应用贯穿于固体电子结构解析、输运性质预测及缺陷行为研究等多个领域，其数值与位置的精准确定为理解材料宏观性质提供了微观依据。
在能带结构与费米面标注中，费米能级是划分占据态与非占据态的基准，直接影响对材料电子结构的解读。
以TaAs₂拓扑半金属为例，理论计算通过微调费米能级使其向导带偏移60 meV，成功使计算的费米面与角分辨光电子谱实验结果匹配——图中费米面由E=E_F的等能面定义，色标表示对数尺度的谱函数强度，费米面的形状与拓扑结构直接反映了拓扑表面态的存在，而费米能级的微小调整即可显著改善理论与实验的吻合度，这一案例证实了费米能级位置对拓扑表面态预测的决定性作用，为拓扑半金属的器件应用提供了关键理论支撑。
DOI：10.1088/1361-648x/ac43fe
费米能级对输运参数的调控作用在分子电子学中尤为显著。2016年关于分子导线电导衰减的研究表明，衰减常数（β）——描述电导随分子长度增加的衰减速率——对费米能级（E_F）具有强烈依赖性。
当E_F位于分子的最高占据分子轨道与最低未占据分子轨道间隙中心时，理论计算的β值与实验测量结果高度吻合；而在其他E_F位置，β值偏差较大，且曲线斜率在选定E_F处较高，表明β对E_F的取值极为敏感。
这一现象的物理本质是：费米能级与分子轨道的相对位置决定了电子隧穿的概率——当E_F靠近HOMO或LUMO时，电子隧穿路径增多，衰减常数减小；而当E_F位于能隙中心时，隧穿概率最低，衰减常数最大，与实验观测一致。
这一研究为分子导线的设计提供了指导：通过调控电极费米能级，可优化分子器件的电导特性。
DOI：10.1021/acs.jpcc.5b08877
在缺陷形成能的研究中，费米能级是关联缺陷电荷态与稳定性的核心参数。关于Ge晶体中二聚体缺陷的研究显示，不同电荷态缺陷的形成能随费米能级（E_F）的变化呈现特征性曲线。
曲线的交点称为缺陷转变能级，即当E_F跨越该能级时，缺陷的主导电荷态发生改变——例如，当E_F低于某一跃迁能级时，缺陷以-1价稳定存在；当E_F高于该能级时，缺陷则以0价更稳定。
这一关系的物理意义在于：缺陷的形成能依赖于费米能级所决定的电子化学势，当E_F升高时，系统获得电子的难度增加，带负电缺陷的形成能升高，而带正电缺陷的形成能降低，反之亦然。
通过计算不同E_F下的形成能，可预测缺陷在材料中的稳定电荷态及对载流子的影响，为半导体掺杂优化提供理论依据。
DOI：10.1016/j.physb.2015.08.015
费米能级前沿
费米能级的前沿研究聚焦于其在新型量子材料与低维体系中的调控机制，通过精准调控E_F实现对材料新奇物理性质的发掘与应用。
在狄拉克材料费米能级调控方面，EuMnBi₂作为一种典型的狄拉克半金属，其费米能级可通过Gd³⁺掺杂实现有效移动：Gd³⁺的引入会通过磁矩交换作用改变材料的电子结构，使狄拉克锥附近的能带隙减小，当费米能级（E_F）被调控至接近狄拉克点时，材料的Nernst信号增强100%。
理论计算揭示，这一现象源于狄拉克点附近的线性色散关系使载流子具有极高的迁移率，而E_F靠近狄拉克点时，参与输运的狄拉克费米子数量显著增加，导致Nernst效应大幅增强。
这一研究为热电材料的优化提供了新路径：通过掺杂调控费米能级至狄拉克点附近，可同时提升电导率与塞贝克系数，突破传统热电材料的性能瓶颈。
DOI：10.1002/adfm.202102275
在二维半导体激子态演化的研究中，费米能级的移动对激子与三子的能量状态具有显著影响。以掺杂的MoS₂二维材料为例，通过调节掺杂浓度改变费米能级，Bethe-Salpeter方程计算显示：当E_F上升时，激子能级发生蓝移，而三子能级发生红移。
这一现象的物理机制是：E_F上升意味着导带中自由电子浓度增加，自由电子与激子的库仑相互作用增强，导致激子结合能增大；同时，带负电的三子与自由电子的屏蔽效应减弱，其结合能减小。
这种E_F依赖的能级演化特性为二维光电器件的设计提供了新思路——通过栅压调控E_F，可实现对激子发光波长的精准调制，拓展其在量子点激光器、光电探测器等领域的应用。
DOI：10.1103/PhysRevB.102.085304
超薄银膜的费米能级研究揭示了尺度效应对电子结构的独特影响。DFT计算表明，当银膜厚度从1 nm增至5 nm时，费米能级与膜厚呈线性关系，E_F随厚度增加而线性降低。
进一步分析显示，这一效应源于基底与银膜的界面态杂化：超薄膜中，表面原子占比极高，基底材料的原子与银膜表面原子形成界面态，这些界面态与银的本征电子态发生杂化，导致费米能级随膜厚变化——膜越薄，界面态占比越高，杂化效应越强，E_F越高；随膜厚增加，体相原子占比上升，界面态杂化的影响减弱，E_F逐渐趋近于体相银的费米能级。
这一发现为纳米尺度金属器件的设计提供了关键参数：通过控制超薄金属膜的厚度，可调控其费米能级，进而优化器件的功函数、电导等特性，例如在纳米间隙器件中，通过厚度调控E_F可实现对隧道结电阻的精准控制。
DOI：10.48550/arXiv.1412.1238
总结
费米能级作为理论计算与材料物理中的核心物理量，兼具物理本质与计算工具的双重角色，其精准描述与调控是理解材料性质、设计功能材料的关键。
从物理本质来看，费米能级定义了电子的统计分布规律与能带填充边界，在绝对零度时是占据态与非占据态的严格分界，在有限温度下则是占据概率为50%的能量点，同时等同于电子化学势，反映了系统获得电子的难易程度。
这一特性使其成为连接微观电子结构与宏观性质的桥梁：金属因费米能级位于导带内而具有高导电性，半导体的载流子类型与浓度由费米能级位置决定，拓扑半金属的独特输运性质则源于费米能级附近的线性色散能带。
从算法核心来看，费米能级是DFT自洽场迭代的关键收敛参数，其计算精度依赖于交换关联泛函的选择与迭代方法的优化。
通过总能量对电子数的导数定义，结合密度矩阵与自洽迭代，可实现不同体系费米能级的精准计算，为后续的能带分析、输运参数预测等提供基础。
从材料设计的角度来看，费米能级是性能调控的核心抓手。通过掺杂、电场、尺度控制等手段，可实现费米能级的定向移动，进而优化材料的光电、热电、输运等性能。
这些应用充分体现了费米能级在“结构–性能” 关系中的核心地位，为新型功能材料的理性设计提供了明确的理论指导。随着计算方法的不断完善与实验技术的进步，费米能级的研究将持续深化，推动从基础物理研究到器件应用的高效转化。
