什么是量子隧穿？透射影响及电子输运、轻核运动中的计算含义解析

说明：本文华算科技主要介绍量子隧穿的波函数描述、势垒与粒子质量对透射的影响，以及电子输运和轻核运动中的计算含义。

粒子的总能量 E 低于一段有限区域的势能 V(x)，经典力学会把这段区域称为经典禁阻区：粒子无法沿经典轨迹进入其中。量子力学中，描述粒子的波函数可以在禁阻区内非零，并与另一侧的传播态相连，使粒子具有出现在势垒另一侧的概率，这便是量子隧穿。

电子所遇到的势垒可以来自真空间隙、绝缘薄层或材料之间的能带差异。石墨烯纳米带的宽度改变会调整能带：在较宽纳米带之间保留的窄带段，可对某些能量的载流子形成势垒。势垒以下的透射与热激发到势垒以上的输运，使用的是同一势能轮廓中的不同能量范围。

定态薛定谔方程在 V(x)＞E 的区域给出指数形式的解，有限势垒内的解通常为衰减项与增长项的组合，由两侧匹配条件确定系数。|ψ(x)|² 表示位置概率密度；透射系数 T 则定义为透射概率流与入射概率流之比。两侧粒子速度有差别时，计算 T 还包含速度比，不能把任意两点的概率密度之比当作透射系数。

入射波包到达势垒时，概率在左侧、势垒内部和右侧重新分配。原图的 R、T 分别按左右区域积分，初期左侧还包含入射波包；散射结束、波包远离势垒后，它们才分别对应反射与透射。势垒内概率在中间时刻非零，总概率在数值误差范围内保持归一化。

对于静态势中的弹性隧穿，入射与出射的总能量相同，势垒中指数衰减的波函数由量子方程决定，过程中没有额外的能量补给。若粒子同声子、光场或其他自由度交换能量，则属于带有非弹性过程的输运，模型中须明确相应的能量交换。

在一维、单一有效质量且势能变化足够缓慢的模型中，WKB 近似把弱透射的主要指数写为 T(E)∝exp[−2∫_x₁^x₂κ(x)dx]，其中 κ(x)＝√{2m[V(x)−E]}/ℏ。积分覆盖禁阻区，两个转折点满足 V(x)＝E；势垒的高度、空间延伸和形状共同进入指数。

对于宽度 a、高度 U₀ 的矩形势垒，主要指数为 exp[−2a√{2m(U₀−E)}/ℏ]。固定入射能量与质量，增宽势垒会迅速压低透射。原图横轴是势垒宽度，图例 s 则是入射波包的空间宽度；空间较窄的波包含有较宽的动量分布，高能分量可使波包总透射偏离单能平面波的结果。

固定势能轮廓和入射能量，指数中的质量平方根使轻粒子通常具有较大的隧穿概率。电子在简单真空势垒中可用自由电子质量；晶体中的有效质量来自相关能带及运动方向，氢核迁移则涉及核质量，协同运动还包含其他原子的位移。三类问题的质量取值与势能坐标应分别定义。

在外加电场造成的倾斜势垒中，禁阻区长度随电场强度和入射能量变化，固定峰高仍可得到不同透射。多势垒结构中，中间区域的准束缚能级可使匹配能量处出现共振透射，强度取决于两侧耦合与相位干涉。势垒顶部附近的反射、共振峰宽和峰位由完整散射解确定，单一衰减指数只保留弱透射的主要幅度变化。

第一性原理计算可为隧道结给出原子构型、有效哈密顿量、能带对齐及电势分布。电势曲线与态密度分别描述空间能量分布和可用电子态；电子从一个电极进入、经散射区到达另一个电极的透射，还涉及电极态与材料轨道的耦合、对称性和相位匹配。

金属表面覆盖绝缘体或 n 型简并半导体时，费米能级、导带底和真空势能基准应使用同一能量参照。原图以金属导带底为势能零点：Φ_M 表示金属功函数，χ_E 表示覆盖层电子亲和能。能带阶梯给出电子可能遇到的势能变化，原子尺度界面中的局域态及轨道耦合仍须由具体电子结构确定。

在自旋简并、相干弹性输运的常用模型中，电流写为 I＝(2e/h)∫T(E)[f_L(E)−f_R(E)]dE，e 取元电荷的正值。T(E) 汇总可传播电子态的透射，f_L、f_R 是两个电极的费米分布。电极占据差限定净电流的能量范围；平衡时两侧分布相同，双向透射可以存在，净电流仍为零。

偏压既改变电极化学势，也可能改变散射区的自洽电势，温度则影响电子占据及非弹性散射。评价一个隧道结，所比较的电势、透射谱和电流应对应同一结构、偏压与温度条件。一次基态差分电荷密度计算没有求解电极间的散射态，因而没有直接给出 T(E)。

氢迁移计算中，电子结构先为不同核构型给出势能，NEB 等方法再寻找连接两个位点的势能路径。峰高描述经典迁移的活化能量，量子透射还受势垒宽度和多维路径影响。零点能修正会调整不同构型的振动能量，跨越禁阻区的核振幅仍须由核量子力学求解。

钒中的单氢模型在 DFT 三维势能面上求核薛定谔方程：c/a＝1.00 的立方晶格中，最低氢核波函数分布在多个四面体位点；c/a＝1.10 的畸变晶格中，最低态集中在 O_z 八面体位点附近。原图的波函数属于氢核，势能面则来自电子结构计算。局域几何变化会改变位点能量、势垒和核态之间的耦合。

把 H 换成 D，在通常的 Born–Oppenheimer 描述下主要改变核质量，而电子势能面近似保持相同。较大质量改变零点能、核态能级及势垒内的衰减，同位素速率差可能同时含有这些贡献。核的定态空间分布与迁移速率使用不同的计算对象；后者还涉及热占据、环境耦合和随时间的跃迁。

路径积分平衡采样可用于研究核的空间分布和自由能，量子速率则需相应的动力学理论，例如在适用温区采用瞬子理论，或使用环聚合物动力学的近似速率。势能面模型中包含哪些原子运动、如何处理环境耗散，以及采用何种核动力学，都会影响与实验迁移速率的比较。

β 相钒氢化物薄膜的氢扩散系数由电阻弛豫与随机游走模型推得，在 65—100 K 仍呈热激活的 Arrhenius 变化，原研究在该温区未观察到向上偏离 Arrhenius 规律或近似无温度依赖的特征。畸变晶格中的 O_z—O_z 直接路径距离较长、势垒较高；能垒较低的间接路径又经过核能级不匹配的位点，位点间的隧穿耦合随之减弱。