局域态密度（LDOS）全解析：定义、空间取样、图谱形式，及缺陷电子态与扫描隧道谱中的物理含义

说明：本文华算科技主要介绍局域态密度 LDOS 的定义、空间取样、图谱形式，以及缺陷电子态和扫描隧道谱中的物理含义。

局域态密度的定义是什么？

同一条石墨烯纳米带，端部和中央具有相同的化学组成，却可以在相同能量处呈现差别很大的电子态分布。局域态密度 LDOS 描述指定位置附近、单位能量内的电子态权重，写成 ρ(r,E)。r 指定实空间位置，E 指定能量；两者共同决定取样对象。它既能描述原子附近，也能描述键间区域和表面上方的真空。

在 Kohn–Sham DFT 中，每个本征态具有能量 ε_α 和波函数 ψ_α(r)。将能带、k 点和自旋标签合记为 α，LDOS 写为
ρ(r,E)=∑_αw_α|ψ_α(r)|²δ(E−ε_α)。δ 函数选择能量，波函数模平方给出该态在 r 处的权重，w_α 包含 k 点积分权重；自旋已计入求和，无须再重复乘二。有限体系的离散态可取 w_α=1。

纳米带端部态的波函数权重集中在短锯齿边附近，体态则沿带身分布。计算端部 LDOS 时，前者贡献较大；在中央取样时，前者的贡献减小。同一个能级可以在不同位置产生不同峰强，因为本征能量没有改变，改变的是取样处的波函数权重。原图中的自旋轨道分布用于辨认状态所在位置，LDOS 的数值还包含选定能量附近各态的求和。

若波函数在一个晶胞内归一化，点 LDOS 的常用单位为 states·eV⁻¹·Å⁻³。对整个晶胞积分得到总态密度：D(E)=∫_cellρ(r,E)d³r。只对缺陷周围的小区域 Ω 积分，则得到区域态密度 D_Ω(E)，单位中去掉体积因子。区域越大，包含的谱权重通常越多，区域积分与单位体积平均应分别标注。

电子数密度由占据函数加权的能量积分给出：n(r)=∫f(E)ρ(r,E)dE。未占据导带可以具有很高的 LDOS，但在低温基态中几乎不贡献占据电子数。能量范围内所有态的空间权重、实际占据电子密度、吸附前后的差分电荷密度，分别对应能量选择、占据加权和参考体系相减三种计算。赝势计算若只处理价电子，积分所得 n(r) 也只包含相应的价电子部分。

LDOS曲线/空间图/原子投影怎样区分？

固定 r 并扫描 E，可得到一条局域能谱；固定 E 并扫描 r，可得到某一能量的实空间分布。沿表面法向扫描位置，还能形成“位置—能量”二维图，颜色表示 LDOS 大小。对某个能窗积分得到的分能段密度则汇集了该能窗内的多个态，能窗过宽时，相邻状态的空间特征可能相互叠加。

三层 MoS₂ 在 −2.90 eV 与 −1.10 eV 处具有不同的层内、层间分布，原子结构却相同。能量选择改变了参与成像的电子态。计算图采用实空间网格和色标；比较两幅图时，色标范围、切片位置与空间平均方式都影响图像对比。二维切片恰好穿过波函数节点时，局部信号可很弱，即使邻近位置仍有明显权重。

原子投影态密度 PDOS 使用局域轨道投影权重，例如 |〈φ_a|ψ_α〉|²，来标记原子 a 的轨道成分。实空间区域积分使用 ∫_Ω|ψ_α(r)|²d³r，两种权重的定义不同。有些程序将原子 PDOS 或层内原子投影之和也称为 LDOS；这种结果适合比较原子或层的贡献，真空中任意一点的谱则来自实空间波函数取样。

手性石墨烯纳米带的不同测点出现不同谱线，选定能量的图像又显示沿带身变化的空间权重。图中的模型投影谱针对指定原子位点，并比较了电荷数和相互作用参数。模型名称、取样对象与归一方式共同限定纵轴含义，原子投影谱和真空 LDOS 的绝对峰值通常不能直接相除。实际计算还以有限宽度函数近似 δ 函数；归一化展宽会改变峰高和峰宽，却保持单态总谱权重。

局部谱峰怎样识别缺陷态与延展态？

延展 Bloch 态在整个晶体中分布，仍然对各处 LDOS 有贡献。“局域态密度”中的“局域”指定取样位置，电子态的局域化则描述其空间分布范围。理想晶体也存在周期重复的 LDOS 明暗差别；缺陷附近出现高峰时，峰的空间衰减、与体态的能量重叠和计算尺寸共同决定其归属。

束缚态的主要权重集中在缺陷邻域，共振态则与连续体电子态耦合，空间中可能出现较长的尾部。空间衰减应在同一能量或同一态上比较，不能把不同位置上各自最高的峰连接成一条衰减曲线。双层石墨烯缺陷模型中的零能谱权重便呈现接近 r⁻² 的距离依赖，其长程尾部与指数局域波函数有明显差别。

计算中还可将单个归一化态划分到固定大小的空间单元，令每个单元权重为 p_i，满足 ∑_ip_i=1。逆参与率 ∑_ip_i²对于均匀分布在 N 个单元的态约为 1/N；若权重始终集中在少数单元，增大模型后该数值保持有限。这种尺寸比较适用于相同分区和相同归一约定，能量展宽造成的多个态叠加会干扰单态判断。

MoSe₂ 中，Se 空位与 O 替代 Se 的缺陷在带边能量处可以产生相似的三重对称图像，电子能谱却存在差别：裸 Se 空位模型出现深带隙内态，O 替位模型没有相同的深能级。局部图案相似只限定了空间对称特征，化学归属还涉及带隙内谱、原子结构与候选缺陷模型的共同匹配。

缺陷超胞过小会使相邻周期镜像相互作用，原本窄的缺陷能级可能形成有色散的缺陷带。表面模型过薄时，上下表面的电子态也可能发生耦合。峰位、空间范围和局域能隙随模型尺寸趋于稳定后，才适合归属于目标缺陷或表面；费米能级处的一处亮斑并没有包含载流子速度、散射寿命和电极接触信息。

STM/STS测的信号与LDOS有何联系

扫描隧道显微镜 STM 测量针尖与样品之间的隧穿电流，扫描隧道谱 STS 常记录微分电导 dI/dV。在低温、弱隧穿、近似 s 波针尖以及针尖态密度和势垒透射随能量变化缓慢的条件下，dI/dV 近似正比于针尖位置处的样品 LDOS。采用样品偏压 V 时，取样能量近似为 E_F+eV，e 为正的元电荷。

正样品偏压主要探测未占据态，负偏压主要探测占据态。有限偏压下的电流包含一个能量窗口的贡献，恒流形貌图还通过针尖高度变化维持电流设定值；高度图中的亮区可同时包含结构起伏和电子态因素。NaCl 上石墨烯纳米带的端部谱与中央谱不同，其端部占据态、未占据态图像可与相应 Kohn–Sham 轨道在真空中的分布比较。

Kohn–Sham LDOS 使用辅助单电子本征值，STS 则涉及向样品添加或移走电子的激发。轨道图案相符与激发能量相符应分别评价：屏蔽、电子关联和基底耦合都能改变实验共振位置。图中纳米带的轨道形状可由 DFT 描述，能量分裂的定量讨论采用 GW 准粒子计算。自旋分辨谱还要求明确针尖磁化方向及样品自旋分量。

CO 修饰针尖含有显著的 p 波贡献，隧穿矩阵元对样品波函数的空间导数敏感。针尖靠近样品时，轨道图像的对比可以改变，即使分子的化学结构没有变化。并五苯在 NaCl/Cu(111) 上的实验显示，改变针尖高度会使图像从少量宽亮斑变为细分的条纹；包含针尖 s/p 成分的模拟能够重现实验趋势。

真空波函数的不同轨道分量随高度衰减速率不同，因而表面上方的取样高度直接影响模拟强度。实验温度和锁相调制幅度还会展宽局域谱峰，恒流反馈会改变不同测点的针尖距离。计算与测量比较时，能量零点、取样高度、针尖状态及展宽范围应一致；在能隙或节点附近，信号接近检测下限也可能表现为暗区。