声子与晶格振动有什么关系？

什么是晶格振动

晶格振动指的是晶体中的原子在其各自的平衡位置附近做微小的热振动。在理想的完整晶体中，原子按照一定的周期性规则排列在晶格点阵上。然而，由于原子具有热运动能量，它们并不会静止地处于平衡位置，而是围绕这些位置进行不断的微小位移。这种位移在宏观上表现为晶体的热振动现象。

在研究晶格振动时，简谐近似是一种常用的方法。简谐近似假设原子间的相互作用势能可以用关于原子位移的二次函数来近似描述。在这种近似下，原子的振动类似于简谐振动，满足简谐振动的运动方程。这使得对晶格振动的理论分析得以简化，能够运用成熟的简谐振动理论来处理问题。

然而，实际晶体中的原子间相互作用并非完全符合简谐近似。除了简谐相互作用外，还存在非线性效应。非线性效应指的是原子间的相互作用势能中包含原子位移的三次方及更高次方项。

这些高阶项使得原子的振动不再是简单的简谐振动，而是呈现出更为复杂的行为。非线性效应会导致晶格振动的频率不再是常数，而是与原子的振动幅度有关；同时，不同频率的格波之间会发生相互耦合，产生新的频率成分。

数学描述

一维单原子链模型

考虑一个由 N个质量均为m、间距为a的原子组成的一维单原子链。假设原子只能在其平衡位置附近沿一维方向做微小振动，第 n个原子的位移记为μ_n。一维单原子链的色散关系：

它描述了格波的角频率ω 与波矢q 之间的关系。从色散关系可以看出，格波的频率是波矢q的函数，并且具有周期性，周期为2π/a。当q=0时，ω=0，对应于晶体的整体平移；当q=±π/a  时， 达到最大值ω_max=2√(β/m)，此时格波的波长为2a，是晶格常数的两倍。

一维双原子链模型

对于一维双原子链，考虑由两种不同质量的原子 m₁ 和 m₂交替排列组成的链，相邻原子间距为 a，晶格常数为 2a。设第 2n 个原子的质量为 m₁，位移为 u_2n；第 2n+1 个原子的质量为 m₂，位移为 u_(2n+1)。

一维双原子链的色散关系：

上式给出了两个解，分别对应着光学支和声学支。

光学支的频率较高，在长波极限下（q0），光学支中两种原子的振动方向相反，且质心几乎不动，这种振动模式主要与晶体中离子的相对运动有关，对于离子晶体，光学支的振动可以与光波发生相互作用，从而在红外波段产生吸收等光学现象。

声学支的频率较低，在长波极限下（q0），声学支中两种原子的振动方向相同，代表着原胞质心的振动，类似于连续介质中的弹性波，它描述了晶体的宏观振动行为，例如可以通过声学支来研究晶体中的声速等性质。

与一维单原子链相比，一维双原子链由于存在两种不同质量的原子，使得其振动模式更加丰富，出现了光学支和声学支两种不同性质的格波。这两种格波在晶体的物理性质中都起着重要的作用，例如在热学、光学等方面都有各自独特的贡献。

三维晶体的推广

将一维晶格振动模型推广到三维晶体时，情况变得更为复杂。在三维晶体中，原子在三维空间中振动，每个原子具有三个自由度。假设晶体由N个原胞组成，每个原胞中有s个原子，则晶体中总的原子数为Ns，总自由度为3Ns。

在三维晶体中，晶格振动的模式更加多样化，不同的振动模式具有不同的频率和波矢关系，这些模式的相互作用和激发情况决定了晶体的许多物理性质，如热容量、热导率、光学性质等。因此，对三维晶体晶格振动的研究对于深入理解晶体的物理性质具有重要意义。

什么是声子

晶格振动的量子化描述是理解声子概念的关键。在经典力学中，晶格振动被视为一系列相互耦合的原子的振动，可通过牛顿运动定律建立运动方程来描述。

然而，这种经典描述在处理一些微观现象时存在局限性，例如无法解释低温下晶体比热的变化等问题。随着量子力学的发展，人们认识到微观世界的物理现象需要用量子理论来解释。

从量子力学的角度，将晶格振动的能量进行量子化处理。考虑一个由 个原子组成的晶体，其晶格振动可以看作是  个独立的简谐振动的叠加，这些简谐振动的能量是量子化的。对于一个频率为  的简谐振动，其能量只能取一系列分立的值，即E_n=(n+1/2)ℏω，其中n=0,1,2,⋯，ℏ是约化普朗克常数。这里的能量量子 ℏω就被称为声子。

声子可以被看作是晶格振动的能量量子，是一种准粒子。它并非像电子、质子等真实粒子那样具有实体，而是为了描述晶格振动的量子特性而引入的概念。每个声子携带的能量为ℏω，其中 ω是相应格波的频率。晶格振动的激发可以理解为声子的产生，而晶格振动的退激发则对应声子的湮灭。

例如，当晶体吸收能量时，晶格振动加剧，表现为声子数目的增加；当晶体释放能量时，晶格振动减弱，声子数目减少。

这种量子化描述与经典描述的区别在于，经典描述中晶格振动的能量是连续变化的，而量子化描述中能量是分立的。量子化描述能够更好地解释晶体在微观尺度下的物理性质，如晶体的热容量、热传导等，为研究晶格振动和晶体的物理性质提供了更准确的理论框架。

声子特性

声子的波矢q在描述其性质中起着重要作用。波矢q与晶格振动的传播方向和波长相关，它是倒易空间中的矢量。在第一布里渊区内，波矢q 的取值是离散的，且满足一定的周期性边界条件。

声子虽然不是真实的粒子，但具有准动量的属性，其准动量为ℏq。这里的准动量与真实动量有所不同，它是在晶格周期性势场中描述粒子运动的一种量度。当声子与其他粒子（如电子）相互作用时，满足能量守恒和准动量守恒定律。

例如，在电子 – 声子相互作用过程中，电子吸收或发射一个声子，电子的能量和准动量会发生相应的变化，同时总能量和总准动量保持守恒。

声子态密度是描述单位体积晶体中，单位能量间隔内声子状态数目的物理量，通常用g(ω) 表示。其物理意义在于反映了不同频率的声子在晶体中的分布情况。声子态密度与晶体的结构、原子间相互作用等因素密切相关。

声子态密度与热力学量（如比热）有着紧密的联系。晶体的比热是衡量单位质量物质温度升高 1 摄氏度时吸收的热量，它与晶格振动的激发态密切相关。根据热力学理论，晶体的比热可通过对声子能量的统计平均来计算。

在低温下，主要是低能量的声子被激发，声子态密度的分布对晶体比热的贡献较大；随着温度升高，更多频率的声子被激发，比热逐渐趋近于经典理论值。具体来说，晶体的定容比热C_V 与声子态密度g(ω)的关系可表示为：

其中，k_B是玻尔兹曼常数，ω_D是德拜频率，表示晶体中声子的最高频率。上式表明，声子态密度 g(ω)决定了不同频率声子对比热的贡献权重，通过积分计算得到晶体的比热，从而解释了晶体比热随温度的变化规律。

声子类型

声学声子

声学声子在晶格振动中具有独特的性质。在长波长极限下，即波矢q→0时，声学声子的行为与连续介质弹性波相对应。这是因为在长波长情况下，晶格的离散性效应变得不明显，晶体可近似看作是连续介质。

从原子的振动角度来看，声学声子中相邻原子的振动方向基本相同，代表着原胞质心的振动。这种振动模式类似于连续介质中的弹性波，例如声波在固体中的传播。

声学声子的频率与波矢之间存在线性关系，在长波极限下，频率ω与波矢q满足ω=ν_sq，其中 ν_s是声速，它取决于晶体的弹性性质和密度。这种线性色散关系使得声学声子在描述晶体的低频振动和弹性性质方面起着重要作用。

光学声子

在离子晶体中，光学声子表现出显著的极化效应。离子晶体由带正电和带负电的离子组成，当发生光学声子振动时，相邻离子的振动方向相反，导致电偶极矩发生变化。这种电偶极矩的变化使得光学声子能够与光波发生强烈的相互作用，从而在红外波段产生吸收等光学现象。

以典型的离子晶体氯化钠（NaCl）为例，其晶格由钠离子（Na⁺）和氯离子（Cl^–）交替排列组成。在光学声子振动模式下，钠离子和氯离子的振动方向相反，形成了电偶极矩。

当红外光照射到氯化钠晶体时，如果红外光的频率与光学声子的振动频率相匹配，就会发生共振吸收现象，使得晶体对该频率的红外光具有较强的吸收能力。这种吸收特性在红外光谱分析中被广泛应用，通过测量晶体的红外吸收光谱，可以获取晶体中光学声子的频率等信息，进而研究晶体的结构和化学键性质。

晶格振动与声子的联系

从经典的晶格振动理论到量子化的声子描述，是对晶格振动认识的一次重要飞跃。在经典理论中，晶格振动被看作是原子在平衡位置附近的连续、确定性的微小振动，通过牛顿运动定律建立运动方程来描述原子的运动轨迹和振动特性。

随着量子力学的发展，人们逐渐认识到微观世界的物理规律与经典力学有很大的不同。在量子力学框架下，晶格振动的能量被量子化。对于一个由N个原子组成的晶体，其晶格振动可以看作是 3N 个独立的简谐振动的叠加。

每个简谐振动的能量只能取分立的值，即E_n=(n+1/2)ℏω。这种能量的量子化意味着晶格振动的激发和退激发是不连续的，而是以能量量子 ℏω为单位进行的，这个能量量子就是声子。

简正坐标在从经典到量子的过渡中起着关键作用。在经典晶格振动理论中，为了简化多原子系统的运动方程，引入了简正坐标。简正坐标是一种特殊的坐标变换，它将多原子系统的复杂运动分解为一系列独立的简谐振动模式，每个简谐振动模式对应一个简正坐标。

对于一个具有3N个自由度的晶体，存在3N个简正坐标 Q_i (i=1,2,⋯,3N )，晶体的总势能和总动能可以表示为简正坐标及其时间导数的函数。通过求解简正坐标的运动方程，可以得到晶格振动的各种模式和频率。

二次量子化是将经典的简正坐标描述进一步量子化的过程。在二次量子化中，把简正坐标 Q_i 和其共轭动量 P_i 看作是满足对易关系的算符，即[Q_i,P_j ]=iℏδ_ij，其中 δ_ij 是克罗内克符号。这样，原来的经典简谐振动模式就被量子化，每个模式对应一个量子谐振子。

声子就是这些量子谐振子的激发态，产生一个声子对应于量子谐振子从基态激发到第一激发态，产生 n个声子对应于量子谐振子处于第 n 激发态。通过二次量子化，能够用产生算符a_i^† 和湮灭算符 a_i 来描述声子的产生和湮灭过程。

产生算符 a_i^†作用于真空态（没有声子的状态）可以产生一个处于第i个简正模式的声子，湮灭算符 a_i 作用于有一个处于第 i个简正模式声子的状态可以湮灭这个声子。这种量子化的描述更加准确地反映了晶格振动的微观本质，能够解释许多经典理论无法解释的现象，为研究晶体的物理性质提供了更强大的理论工具。

热传导

在晶体的热传导过程中，声子起着关键的作用，是热量传递的主要载体之一。热传导的本质是热能从高温区域向低温区域的传递，而声子通过其在晶体中的传播和散射来实现这一能量传递过程。

声子 – 杂质散射是声子与晶体中的杂质原子相互作用的过程。杂质原子的存在会破坏晶体的周期性势场，当声子传播到杂质原子处时，会发生散射。这些散射机制共同作用，决定了声子在晶体中的平均自由程和热导率。

平均自由程是指声子在两次连续散射之间所传播的平均距离，热导率与平均自由程、声子的速度和声子的比热等因素有关。根据热导率的定义，热导率 κ可以表示为κ= Cvl /3，其中 C是单位体积的热容，v 是声子的群速度，l是声子的平均自由程。

不同的散射机制对平均自由程的影响不同，进而影响热导率。一般来说，杂质浓度越高，声子 – 杂质散射越强，声子的平均自由程越短，热导率越低。在一些半导体材料中，通过控制杂质的含量和分布，可以调节材料的热导率，以满足不同的应用需求。

超导

在超导现象中，电声耦合起着核心作用，而声子在这一过程中扮演着关键角色。超导是指某些材料在特定温度（临界温度Tc）以下电阻突然消失，同时表现出完全抗磁性的现象。BCS 理论（Bardeen-Cooper-Schrieffer theory）成功地解释了常规超导现象，该理论的基础是电声耦合机制。

电声耦合是指电子与晶格振动（声子）之间的相互作用。在晶体中，电子在晶格的周期性势场中运动，当电子经过晶格中的原子时，会吸引周围的原子，使原子发生微小的位移，这种原子的位移形成了晶格振动，即产生了声子。反过来，声子的存在又会对电子的运动产生影响。这种电子与声子之间的相互作用导致了电子之间产生一种间接的吸引作用。

在 BCS 理论中，电子通过与声子的相互作用，形成了库珀对。当两个电子通过交换声子产生的吸引作用超过它们之间的库仑排斥作用时，这两个电子就会形成一个束缚态，即库珀对。

库珀对中的两个电子具有相反的动量和自旋，它们的总动量为零。在超导态下，大量的库珀对形成了一个宏观的量子态，这些库珀对可以在晶体中无阻碍地移动，从而导致电阻为零。