说明：本文华算科技主要介绍超胞能带折叠的波矢映射、带边判断、周期势引起的态耦合，以及能带展开中的谱权重。
能带折叠的定义与波矢映射是什么？
晶体能带 En(k) 给出第 n 个电子态的能量随布洛赫波矢 k 的变化。k 记录波函数经过晶格平移后的相位，其独立取值可选在第一布里渊区内。相差原胞倒易矢量的波矢属于同一个晶体动量标签，周期能谱会在倒易空间重复。
把理想晶体用更大的超胞描述，实空间重复矢量变长，超胞倒易矢量相应变短。若超胞含 N 个原胞，超胞布里渊区体积为原胞的 1/N。原来位于较大区域内的电子态，要重新分配到这个较小区域，同一个超胞波矢便可对应多个原胞波矢。
以原胞波矢 k 和超胞波矢 K 表示，两者满足 K=k−GSC，GSC 是使 K 进入超胞第一布里渊区的超胞倒易矢量。对于给定 K，原胞区域内有 N 个互不等价的 k 可以映射到它。首图的二维 2×2 扩胞使布里渊区面积缩为四分之一，圆形等能轮廓的不同部分随之出现在同一小区域。
一维晶格的周期由 a 改记为 2a 时，独立波矢区间从 −π/a 到 π/a，缩为 −π/(2a) 到 π/(2a)。原来的 k 与 k+π/a 在 2a 平移下相位相差 2π，具有同一个 K 标签。对单轨道近邻模型 E(k)=−2t cos(ka)，t 为近邻跃迁积分，两条超胞分支成为 −2t cos(Ka) 和 +2t cos(Ka)。增加的分支来自原有态的重新编号，理想晶体的原子排列和势并未改变。
N 倍扩胞通常使每个 K 上的能带条数增加到原来的 N 倍，但可独立取样的 K 区域缩小。按体积归一化的电子态总数保持不变。原胞和超胞中同名的 Γ—X 路径也可能经过不同的实际波矢；横轴采用分数坐标还是 Å−1，会影响曲线斜率的视觉比较。
带边折叠到超胞 Γ 点后怎样判断？
纯 Ge 的原胞价带顶位于 Γ，导带底位于 L，因而具有间接带隙。带隙大小来自导带最低能量与价带最高能量之差，而直接、间接的区分还涉及两个态在真实平移晶格下的波矢。Ge 的 Γ、L、X 导带态也具有不同压力响应。
在 GeSn 研究采用的 16 和 64 原子超胞中，纯 Ge 的 L、X 导带态都可折叠到超胞 Γ 点。超胞 Γ 上的不同态仍可保留原胞 L、X 成分。完美晶体仅改变计算晶胞时，原有平移对称性仍然存在，光学跃迁矩阵元中的相位抵消不会因重标波矢而消失。
把两个带边画在超胞同一个 Γ 点，尚未给出光学跃迁强度。纯扩胞保留原来的能隙与动量选择条件。比较带边时，应采用映射后的完整波矢区域；仅比较两张高对称路径图的最低曲线，还可能遗漏真正的导带底。
Sn 替代 Ge 后，原子势和局部结构发生变化，原胞平移对称性随之降低，L 与 Γ 成分可以进入同一个合金本征态。对原本具有不同压力系数的能谷，态混合会改变导带边的压力响应，可用来检验电子态的成分变化。这里已经包含合金扰动，不能按完美晶体的纯扩胞处理。
该组计算中，低 Sn 含量的带隙变化接近纯 Ge 的 L 参考曲线；6.25% Sn 模型的响应明显偏离 L 参考。同一含量下，16 原子有序模型与 64 原子随机模型也有差别。原子排列与超胞尺寸共同限定这些合金模型，曲线差异包含真实的态混合及周期模型差别，纵轴记录的是相对零压的带隙变化。
周期势改变时，折叠为什么会出现副本/能隙
原子重构、吸附超结构或电荷与自旋密度调制，会在晶体势中增加新的傅里叶分量 δVQ。动量相差 Q 的两个态可以产生非零耦合。在两个未耦合态能量相等、且对称性允许耦合的近似下，矩阵元 V 将交叉点分裂为相隔约 2|V| 的两支；纯粹重选晶胞并没有增加这一势分量。
石墨烯的 K、K′ 在某些吸附超结构下会映射到新区域的 Γ。映射位置由超结构倒易矢量决定，可见副本的强度则取决于相应散射振幅。硒分子吸附体系的原图并列了三种周期及反相畴模型，实心点与空心圈分别标示有、无相应散射振幅的几何折叠中心。
在等权反相畴模型中，不同畴彼此相差半个超结构平移。对某些倒易矢量，来自不同畴的散射振幅具有相反相位，平均后相互抵消。几何上存在折叠中心，谱图中仍可能没有对应副本。这种消光来源于畴的相位关系，不能把所有新区域中心都视为同等强度的电子谱峰。
双层石墨烯在 20 K 吸附硒分子后，ARPES 在 Γ 附近观测到狄拉克锥副本；升至 30 K 使硒脱附后，这一副本消失。吸附层改变了电子受到的空间周期调制。相同材料换一张超胞能带图，只改变绘图中的波矢标记；吸附与脱附则实际改变了表面势。
ARPES 的明暗还受到光子能量、偏振和光电子跃迁矩阵元影响，K 附近两支色散的强度可以不对称。波矢映射、态的谱权重和测量强度分别具有定义。电子态是否耦合、耦合后是否打开能隙，以及哪一支在实验中可见，应分别根据势分量、能量分裂和测量条件判断。
能带展开怎样给出原胞波矢的谱权重？
能带展开将超胞波函数分解到参考原胞的布洛赫平移分量。WnK(k) 衡量超胞态保留的原胞 k 成分。归一化后，每个投影权重介于 0 与 1 之间，在完整的 N 个映射波矢上求和为 1。理想扩胞的态可选成具有确定原胞波矢的形式；缺陷、合金或结构调制则常使权重分散。
把同一 k 上各态的贡献按能量相加，得到谱函数 A(k,E)=∑nWnK(k)δ(E−EnK)。峰的位置记录能量，强度记录该波矢的布洛赫成分。它保留超胞计算的本征能量，并未把受扰动材料重新计算成完美晶体。
含中性氧空位的 MgO 展开图中，带隙内局域态仍然存在；Mg、O 的原子投影进一步区分各原子贡献。原胞波矢谱权重与原子投影回答不同问题。局域缺陷态在实空间集中，在倒易空间可分布到多个 k；展开后的能量和残余色散仍受缺陷浓度与周期镜像间距影响。原图采用去掉一个 O 后的 63 原子模型。
Cr 的自旋密度波沿特定方向调制局域磁矩，使不同方向的电子态产生不同耦合。展开到体心立方参考区域后，费米面重构仍然保留。21 单胞模型的展开等能轮廓与非磁参考相并不完全重合，垂直和沿波方向的切面也显示不同变化。
图中的比较分别选取费米能级和其下 0.2 eV 的切面，原文对计算能量采用了 +0.2 eV 的统一刚性平移。参考晶格、能量零点与切面方向共同确定谱图的比较对象。绘图的高斯或洛伦兹展宽还会改变谱峰厚度；静态超胞本征态叠加出的宽谱，尚未包含电子激发的动态自能与寿命计算。
