一文说清VBM、CBM、能带与DOS：带边、PDOS、轨道来源全对齐

说明：本文华算科技主要介绍价带顶、导带底与能带、态密度之间的计算联系，以及带边位置、态密度形状和轨道投影各自支持的判断。

同一组电子态怎样绘成两种图？

晶体中的电子态由能带序号 n、波矢 k 和能量 E_n(k) 标记。周期性计算在布里渊区各个 k 点求出本征值；能带图保留能量随 k 改变的轨迹，通常只连接若干条高对称路径。价带顶 VBM 是占据带的最高能量，导带底 CBM 是未占据带的最低能量。它们指具体的带边态，也各有自己的 k 位置。

态密度 DOS 将布里渊区内各能带的本征值按能量统计。写作 D(E)＝Σ_n,kw_kδ[E－E_n(k)]，其中 w_k 是采样权重。同一能量窗内的态越多，DOS 越高；求和后，曲线不再保留各态原来的 k 坐标。总态密度 TDOS 汇集所有被计入的态，投影态密度 PDOS 则给每个态附加原子或轨道权重。

ZrNiSn 的论文原图把能带与 PDOS 并排放置。左侧某条曲线在特定 k 点达到带边，右侧只记录该能量附近出现的态及其轨道成分。两幅图使用同一电子结构，但一条能带曲线不能直接按横轴坐标变成一条 DOS 峰：DOS 还计入高对称路径之外的大量 k 点，且每个能量窗可能包含多条带。

离散 k 网格在绘制 DOS 时常配合高斯展宽或四面体积分。铅卤钙钛矿的紧束缚模型给出了一个直接例子：论文先计算能带，再对整个布里渊区的 8000 个 k 点统计能级，并以 0.2 eV 高斯宽度绘制 DOS。这里的能带来自紧束缚哈密顿量；在 DFT 中，两图之间的统计联系相同，但本征值来自所选泛函下的 Kohn–Sham 计算。

能带纵轴与 DOS 能量轴需要采用同一零点，才可横向对应。半导体论文常把费米能级 E_F 或 VBM 移到 0 eV；零点的平移不改变带隙，却会改变图上带边的标注数值。图中还应核对自旋分量、每胞或每原子的 DOS 归一化口径。

DOS 的积分给出指定能量范围内的态数；电子数还要乘上费米占据函数再积分。两张图上相同的 0 eV 刻度只是所选参照，并不表示这一能量必有电子态。若计算包含两个自旋分量，图上将它们相加或分别画在横轴两侧，也会改变读者看到的峰高。

VBM和CBM在图上出现在哪里？

在无带隙内缺陷态的半导体中，能带图上的 VBM 与 CBM 分别是占据带最高点和未占据带最低点；DOS 中相应出现价带终止与导带开始。两端能量差 E_g＝E_CBM－E_VBM。带隙是两处全局极值的能量差，并非 DOS 图里任取两个明显峰顶之间的距离。峰顶反映态在能量上的聚集，可能远离真正的带边。

带边在 DOS 曲线中常表现为逐渐抬起的边缘。有限 k 网格和展宽会把理想的突变涂抹成低强度尾部；极小的尾巴可能只是绘图参数造成。缺陷超胞里的禁带内峰又可能对应真实局域态。判断两者时，可比较不同展宽或更密 k 网格下的峰位，并检查禁带内态的能带位置与空间分布。

BC₂N、BC₂P 和 BC₂As 单层的原图并列给出 PBE 与 HSE06 能带，还标出 VBM、CBM 的分波电荷密度。泛函改变两端能量差时，带边所在的 k 点及空间分布也要重新核对。用 PBE 的 DOS 起点解释 HSE06 的带隙数值，会混入两套本征值；相同材料的两套曲线须分开判读。

直接带隙要求 VBM 与 CBM 位于同一 k 点；若最高价带态和最低导带态位于不同 k 点，基态单粒子带隙为间接带隙。DOS 已经丢失波矢标签，即使两张 DOS 的带隙宽度完全相同，仍可能分别对应直接和间接跃迁。能带图若只沿常用高对称路径绘制，还可能漏掉路径外的真正极值；精细带边搜索需要覆盖整个布里渊区。

费米能级位于禁带中时，E_F 到 VBM 或 CBM 的距离描述占据位置，不自动等于带隙。对本征半导体，图上把 E_F 设为零常便于展示；载流子浓度、温度或缺陷改变费米能级时，VBM 与 CBM 的定义仍由能带极值决定。

金属的能带穿过费米能级，费米能级附近 DOS 通常不形成清楚的禁带，因而不宜硬指定一对 VBM、CBM。自旋极化半导体还可能在上、下自旋分量中出现不同带边；合并后的 DOS 会掩盖分量差异。讨论带隙前，材料是否存在完整禁带应由能带和 DOS 的同一计算结果核对。

带边曲率和能谷数怎样塑造DOS？

DOS 统计能量窗内有多少可用态。能带在一片 k 空间变化缓慢时，较多态会挤在相近能量；色散陡峭时，同样数量的态摊在较宽能窗。带边曲率控制等能面附近的态数变化，而 DOS 峰形还受晶体为二维或三维、能谷简并数及展宽影响。高 DOS 峰未必意味着高迁移率：群速度、散射时间和有效质量都参与输运。

单层 InSe 的计算图同时给出 DFT 能带、DOS 与价带顶附近的二维能量分布。价带最高处形成近似环状极大值，Γ 点中心反而略低；一条高对称路径会把环切成若干局部高点。环上大量 k 态靠近 VBM，使价带边附近的 DOS 分布与普通孤立抛物线极值不同。该图的能量零点设在 VBM，右侧 DOS 的近零能量部分对应这一带边。

对各向同性抛物线带边，三维 DOS 在阈值上方随能量差的平方根增长；二维 DOS 则出现阶跃式起点。InSe 的环状价带顶偏离孤立抛物线近似，不能套用单一二维阶跃描写。若几个能谷能量相近，相同能量窗会汇入更多态；应变使能谷分裂后，各能谷的起点可能分开，DOS 边缘的肩峰也会改变。

热电材料的能谷示意把简并、谷形畸变和方向差异分别画出。对于实际 DFT 数据，DOS 的肩峰只能提示某些能带在相近能量聚集；谷数和谷位置必须回到 k 空间辨认。比较二维单层与三维块体时，还要统一 DOS 的每胞、每原子或每面积归一化，否则峰高差可能来自计数单位。

有效质量来自带边能量对 k 的二阶导数，方向不同就可能得到不同数值。DOS 把方向信息全部加总，峰形无法单独给出沿某晶轴的电子有效质量。对于具有多个相近导带谷的材料，同一个总 DOS 起点还可能包含若干有效质量和简并数；沿具体输运方向的判断需要对应能带曲率。

PDOS怎样指出VBM与CBM的轨道来源？

PDOS 在能量统计时加入波函数对指定原子或轨道的投影权重。例如 VBM 附近的 p 态占比与 CBM 附近的 d 态占比，可以描述两端带边的主要轨道成分。PDOS 峰高是投影权重与态数共同作用的结果；投影球半径、基组及原子间隙区域的处理会影响各分量之和与 TDOS 的贴合程度。

ZrNiSn 与 Hf 掺杂模型的图组分别列出 TDOS、Hf_0.5Zr_0.5NiSn 的 PDOS 和导带底分波电荷密度。PDOS 说明所选元素轨道在带边能窗内的权重，分波电荷密度补上电子态在晶胞中的空间分布。同一个 DOS 能量峰可含多个原子轨道，单看峰位重叠还不足以确定原子间成键强弱。

BC₂X 系列的另一张论文图同时给出 TDOS、PDOS 与平面平均静电势。三种材料的价带和导带成分随 X 从 N 换成 P、As 而变化；电势曲线描述沿层法向的平均电势，不能当作 DOS 的另一种画法。跨材料比较轨道峰位时，先统一能量参照，再比较同一投影定义下的权重；仅把各自费米能级移到零点，无法给出绝对带边排列。

若要知道某个轨道权重究竟集中在 Γ、K 还是其他 k 点，投影能带或逐态波函数信息比 PDOS 有效。PDOS 将所有 k 点的同类投影相加；一个能量峰即使主要来自 p 轨道，仍可能由几个分离的能谷组成。

若研究的是光学跃迁，VBM 与 CBM 的 k 位置、跃迁矩阵元和激子效应还会进入判断；DOS 与 PDOS 只保留能量分布及局部轨道权重。若研究的是掺杂后带边变化，应把计算模型、泛函、自旋状态、k 网格和能量零点逐一对应。这样，能带提供极值态的位置，DOS 显示附近态数，PDOS 给出轨道成分；三者都对应同一套计算本征态。