一文说清电子自旋：为何不是自转、1/2怎样决定排布与磁性

自旋是电子携带的一种角动量，它不来自电子绕原子核的运动，而是电子这种粒子固有的属性，量子数固定为s = 1/2。

沿任意指定方向测量，这份角动量的投影只能取+ħ/2或−ħ/2两个值，通常记作自旋向上和自旋向下；角动量矢量本身的大小则是√(s(s+1))ħ≈0.87ħ，比任一投影值都大，矢量与测量轴之间总保留一个固定夹角。

两个投影值容易让人联想到陀螺的顺时针和逆时针转动，但把电子当作一个转动的小球会立刻遇到尺寸问题。

经典电子半径约2.8×10⁻¹⁵ m；若让这样一个均匀小球靠自转凑出ħ/2的角动量，球面线速度要达到5×10¹⁰ m/s，超过光速一百多倍。自旋因而只能算作电子的一种内禀角动量：它具备角动量的全部数学性质，却没有任何转动的部件。

内禀角动量带着内禀磁矩。电子带电，自旋角动量S对应的磁矩写作μ = −g_sμ_BS/ħ，其中玻尔磁子μ_B = eħ/2m_e≈9.27×10⁻²⁴ J/T，g_s是自旋g因子，实验值2.0023。

放进磁场B后，两个投影态的能量分开ΔE = g_sμ_BB，1 T磁场对应约0.116 meV，换算成频率约28 GHz。用这个频率附近的微波照射就能驱动电子在两个自旋态之间跃迁，电子自旋共振（ESR）测的正是这一跃迁。

分裂出的两条能级正是“投影只能取两个值”的直接后果，也是自旋与经典磁矩差别最大的地方。

经典小磁针在磁场中可以取任意倾角，能量连续变化；电子自旋无论沿哪个方向测量，得到的永远只有±ħ/2两个答案，沿z轴测得向上的电子换到x轴再测，向上与向下各占一半概率。

自旋态因此不能用一支固定指向的箭头描述，而要用一个二分量的波函数（旋量）描述，空间转动360°后这个波函数会变号，转动720°才回到原样。

这样一份角动量在实验上凭什么被断定，它的量子数为什么恰好是1/2、g因子为什么接近2，要分别到1920年代的原子实验和相对论量子力学中寻找答案。

1922年Gerlach和Stern让炉中蒸发出的银原子穿过两道0.03 mm宽的狭缝，再飞过一块3.5 cm长、场强约0.1 T、梯度约10 T/cm的非均匀磁体，最后落在玻璃板上。

非均匀磁场对磁矩施加的力与磁矩沿场方向的分量成正比，如果银原子的磁矩可以取任意倾角，玻璃板上应出现一条连续展宽的银带。实际得到的却是分开的两条，间距约0.2 mm。

两条而不是一片，说明磁矩沿磁场方向的分量只有两个取值，当时称之为方向量子化。1925年之后的分析指出，银原子基态为5s¹，最外层电子的轨道角动量为零，整个原子的磁矩几乎全部来自这个电子的自旋。

1927年Phipps和Taylor用基态氢原子重复实验，同样得到两条，氢原子只有一个1s电子，磁矩的来源由此确定为电子自旋。

原子光谱给出的线索更早，也更费解。钠的黄色D线由589.0 nm和589.6 nm两条谱线组成，间隔约17 cm⁻¹（约2.1 meV）；碱金属的谱线普遍成对出现，只用轨道角动量的整数量子数排不出这种双重结构。加上磁场后，谱线分裂的条数和间距也偏离经典理论的预期，这一现象称为反常塞曼效应。

1925年Uhlenbeck和Goudsmit提出，只要给电子再加一份量子数为1/2的角动量，并让它对应的磁矩比同样大小的轨道角动量多一倍（g = 2），双重线和反常塞曼分裂就能同时算对。Lorentz随即算出这种自转模型的表面速度会超过光速。

1926年Thomas指出电子在核电场中做加速运动时，其瞬时静止系还附带一份进动，使自旋–轨道分裂的计算值减半，计算结果与光谱测得的精细结构间隔一致，自旋假说自此成立。

银原子束和光谱实验测的都是大量原子的统计结果，Penning阱把同样的测量做到了单个电子身上。

把只剩一个电子的高电荷态离子（例如¹¹⁸Sn⁴⁹⁺）束缚在强磁场和电极形成的阱中，离子沿磁场方向来回振荡；在分析阱里加一个铁磁环，磁场带上少量不均匀，电子自旋向上和向下时离子受到的力略有差别，轴向振荡频率相应相差约0.3 Hz。用微波驱动自旋翻转，频率就在两个数值之间来回跳。

这种“连续Stern–Gerlach效应”每次读到的仍然只有两个值，没有中间态，与银原子分成两条是同一件事在单粒子尺度上的重复。跳变对应的自旋进动频率与离子的回旋频率一起测量后，就能把这个束缚电子的g因子定到小数点后九位。

1927年泡利把自旋写进量子力学的方式是手工加入：给薛定谔方程的波函数增加一个二分量结构，用三个2×2矩阵描述自旋算符。这套写法能算对塞曼分裂，却没有回答两个问题：为什么量子数偏偏是1/2，为什么g因子偏偏是2。

1928年狄拉克从另一个方向出发。他要求电子的波动方程既满足狭义相对论的能量–动量关系E² = p²c² + m²c⁴，又像薛定谔方程一样只含时间的一阶导数。把这个平方关系改写成一阶方程，系数不能是普通数，必须是至少4×4的矩阵，波函数随之变成四个分量。

对这个方程做空间转动会发现，仅有轨道角动量L不再守恒，守恒的是L与一个额外角动量S之和，而S的量子数正好是1/2。

再取非相对论极限，四分量方程退化为泡利方程，自旋磁矩自动带着g = 2出现，自旋与轨道运动的耦合项也自动带着Thomas进动的1/2因子。泡利手工放入的东西，在狄拉克方程里全部成为洛伦兹对称性的推论。

狄拉克方程给出g = 2，实验值却是2.00231930436，多出的千分之一来自电子与电磁场量子涨落的相互作用。

量子电动力学把这部分算作电子不断发射并重新吸收虚光子的修正，1948年Schwinger给出的首项是α/2π≈0.00116，与实验多出的部分在前两位数字上一致。后续高阶项补齐后，理论与2023年Penning阱测得的g/2 = 1.00115965218059(13)在万亿分之一水平上相符。

束缚在原子核旁的电子还要再加修正。对只剩一个电子的¹¹⁸Sn⁴⁹⁺，狄拉克方程本身给出g = 1.908079205，核电场使电子运动接近相对论速度，g偏离2近5%。

自由电子的QED修正贡献0.002319304，核电场中的高阶QED项和原子核尺寸、质量效应再贡献约1.6×10⁻⁴。理论合计1.910561821(299)，与实验值1.910562059在理论不确定度3×10⁻⁷之内一致。

狄拉克方程里自动出现的耦合项，在原子中表现为精细结构。电子在核电场E中运动，换到电子的瞬时静止系，这份电场有一部分变成磁场B′≈−v×E/c²，它与自旋磁矩相互作用，能量随L·S的相对取向而变；加上Thomas进动的1/2因子后，类氢原子的精细结构分裂正比于Z⁴α²/n³。

核电荷Z越大分裂越大：钠3p能级的双重线只有2 meV，铅、铋这类重元素的价电子分裂可达电子伏量级。

同样的耦合在固体中表现为自旋电子学常用的能带劈裂。表面或界面破坏了反演对称，电子在其中运动时感受到的等效磁场随动量方向变化，同一条能带按自旋取向分成动量相差Δk的两支；Si(553)台阶面上的一维Pb纳米带在室温下测得Δk = 0.2 Å⁻¹，对应的能量劈裂约0.6 eV，与铅原子本身较强的自旋–轨道耦合一致。

自旋量子数是半整数，这一点决定了多个电子只能以反对称波函数共存。1940年泡利证明，在满足狭义相对论和因果性的量子场论中，半整数自旋的粒子必须服从费米–狄拉克统计，交换任意两个粒子时总波函数变号；由此两个电子不能占据同一个量子态，这就是泡利不相容原理。

整数自旋的粒子（光子、⁴He原子）则可以任意多个占据同一个态。

原子中的电子壳层由此成形。每个空间轨道只能容纳自旋相反的两个电子，1s满了填2s，再填2p，元素周期表各周期的长度2、8、8、18全部来自“每轨道两个”这条限制。共价键中两个原子各出一个电子配成自旋相反的一对，也是同一规则的结果。

人造原子把这一填充顺序直接测了出来。

在硅量子点中逐个加入空穴（自旋同为1/2的费米子），测量每加一个所需能量随面内磁场的斜率，就能读出新加入粒子的自旋方向：第1、2个空穴以自旋相反的方式配对进入1s轨道，第3、4个进入2p的两个简并轨道且自旋平行，第5、6个再以相反自旋填满2p，与原子中的洪特规则一致。

洪特规则中“平行自旋能量更低”的倾向，在固体中放大后就是磁性的来源。两个自旋平行的电子由于波函数反对称而不能靠得太近，库仑排斥能因此降低；这部分能量差写成交换作用J，1928年海森堡以此解释铁磁性。J > 0时相邻磁矩倾向平行排列，材料表现为铁磁；J

生长在钨表面上的单层铁岛把这种集体取向直接呈现在自旋极化STM图像中：同一个岛内的原子磁矩在交换作用下排成一致的方向，用磁性针尖测量隧道电导，磁化方向与针尖平行和反平行的岛分别呈现明、暗两种衬度，相邻岛之间的磁化方向可以相反。

铁的3d壳层有6个电子，按洪特规则尽量平行排布后留下约2.2个未配对自旋，每个原子贡献约2.2 μ_B的饱和磁矩；钴、镍的未配对数依次减少到约1.7和0.6，饱和磁化强度随之下降。