弹性性质包括杨氏模量、泊松比和剪切模量，量化材料抗形变能力。DFT通过弹性张量（Cij）计算单晶力学参数，结合Voigt-Hill平均法预测多晶模量，误差。
实例显示层状LiMnSe₂剪切模量低（4.11 GPa），具显著延展性。未来通过准谐近似（QHA）和机器学习（如CGCNN）优化热力学修正与预测效率，推动DFT在航空合金、柔性电子等领域的跨尺度模拟，实现真实材料力学行为的精准解析。
弹性性质的基本定义与物理意义
杨氏模量（Young’s Modulus）
杨氏模量（Young’s Modulus，E）是描述材料在单轴拉伸或压缩载荷下弹性行为的重要力学参数，定义为材料所受正应力（σ，单位面积上的作用力）与相应正应变（ε，无量纲的相对形变）在弹性变形阶段的线性比值，即E=σ/ε。
其单位为帕斯卡（Pa）或吉帕（GPa），直观反映材料抵抗弹性形变的能力 —— 模量值越大，材料刚度越高，越难以发生弹性变形。
例如，工程中常用的钢材凭借高强度晶体结构，杨氏模量约为 200 GPa，表现出优异的抗形变能力；而 C30 混凝土因内部多相复合结构特性，杨氏模量仅约 30 GPa，刚度显著低于钢材。
这一参数在材料选型、结构设计及力学性能评估中至关重要，通过量化材料的弹性刚度，为工程结构的稳定性分析和优化提供关键理论依据。
DOI：10.1016/j.conbuildmat.2025.141259
体模量（Bulk Modulus）
体模量（Bulk Modulus，符号为K或B）是表征材料弹性性质的核心参数，定义为材料在均匀压力作用下单位体积应力与体积相对应变的比值，数学表达式为K=−V0ΔVΔP，负号确保其正值特性，反映压力增加时体积缩小的物理现象。
体模量越大，材料的不可压缩性越强（如钢的体模量约160 GPa，远高于水的2.2 GPa），其倒数则称为压缩率，用于量化材料的易压缩程度。
除体积应变形式外，体模量还可通过密度变化公式K=ρ0ΔρΔP表达，适用于流体力学中深海压力或密度变化的分析。
在弹性理论中，体模量与杨氏模量（E）、剪切模量（G）及泊松比（ν）满足关系K=3(1−2ν)E，当泊松比接近0.5时（如橡胶），材料趋于不可压缩。
实际应用中，高体模量材料（如金属）用于潜艇舱体等高压环境的结构设计，液压油体模量影响系统响应效率，岩石体模量则与地震纵波传播速度直接相关（vp=(K+34G)/ρ），而声速公式v=K/ρ进一步揭示了其与材料声学性能的紧密关联。
DOI：10.1016/j.cocom.2025.e01030
泊松比（Poisson’s Ratio）
泊松比（Poisson’s Ratio，ν）是表征材料在单轴拉伸或压缩时横向与纵向变形耦合关系的重要力学参数，定义为横向应变（ε_trans，材料横向收缩或膨胀的相对形变）与纵向应变（ε_longitudinal，材料沿载荷方向伸长或缩短的相对形变）的比值，即ν=−εtrans/εlongitudinal，其中负号表示横向应变与纵向应变的方向相反（拉伸时横向收缩，压缩时横向膨胀）。
其理论取值范围为 – 1 到 0.5：当 ν=0.5 时，材料为不可压缩材料（如理想橡胶）；ν=0 时，材料横向无变形（如完全各向异性材料）。
常见工程材料（如金属、陶瓷、聚合物）的泊松比多介于 0.2-0.4 之间，例如钢材约为 0.3，混凝土约为 0.2。
值得关注的是，部分特殊材料（如负泊松比泡沫）在拉伸时会出现横向膨胀的反常行为（ν），这种独特性质使其在抗冲击、超材料设计等领域展现出特殊应用潜力。
泊松比的准确测定与分析，对材料的力学性能评估、结构设计及功能材料开发具有重要指导意义。
DOI：10.1016/j.rinp.2025.108251
剪切模量（Shear Modulus）
剪切模量（Shear Modulus，G）是衡量材料抵抗剪切变形能力的重要力学参数，定义为材料在剪切载荷作用下产生的剪切应力（τ，单位面积上的切向作用力）与剪切应变（γ，层间相对滑移的无量纲切向形变）的比值，即G=τ/γ。
该参数反映了材料在平行于截面的切向力作用下抵抗层间相对滑动的能力：G 值越大，材料越难以发生剪切变形。
对于各向同性材料，剪切模量与杨氏模量（E）、泊松比（ν）存在明确的物理关联，满足G=E/(2(1+ν))，这一关系式通过材料的弹性常数将三种基本力学性能参数联系起来，为工程计算提供了便利。
在实际应用中，剪切模量是评估材料在扭转、剪切载荷下力学行为的关键指标，例如齿轮、轴承等机械部件的设计需严格考量材料的剪切模量以避免过度形变或失效。
不同材料的剪切模量差异显著，金属材料通常具有较高的 G 值（如钢材约 80 GPa），而聚合物或软质材料的 G 值较低（如橡胶仅数十 MPa），这与其微观结构和化学键特性密切相关。
通过剪切模量的测定与分析，可深入理解材料的抗剪切性能，为材料选型和结构优化提供重要依据。
DOI：10.1016/j.soildyn.2025.109413
基于DFT的弹性性质计算
弹性张量计算的理论框架
密度泛函理论（DFT）通过求解Kohn-Sham方程获得材料基态电子结构，结合线性弹性理论计算弹性张量Cijkl：在微小应变（εkl）范围内，应力–应变关系遵循广义胡克定律σij=Cijklεkl，通过施加系列对称性应变（如单轴拉伸、剪切）并拟合应力响应曲线，可提取弹性常数矩阵。
晶体对称性显著减少独立分量数量，例如立方晶系仅含3个独立常数（C11、C12、C44），而六方晶系需5个（C11、C12、C13、C33、C44）。
以α-Fe为例，DFT计算得到C11=243 GPa、C12=145 GPa、C44=116 GPa，与超声实验值（C11=230 GPa）误差，验证了方法的可靠性。
弹性张量数据可进一步推导体模量（B=(C11+2C12)/3）与剪切模量（G=(C11-C12+3C44)/5），为材料力学性能预测提供量化依据。
DOI：10.1039/D1CE00453K
计算方法分类
弹性张量的计算主要采用应力–应变法、能量–应变法及密度泛函微扰理论（DFPT）三种方法。
应力–应变法通过对晶体施加有限应变（通常±1%）并计算DFT应力响应，直接拟合弹性常数矩阵，例如VASP软件中设置ISIF=2可输出立方晶体的应力–应变曲线，快速获取C11、C12、C44，其计算误差通常小于5%。
能量–应变法则通过系统施加不同应变模式（如单轴、双轴、剪切），计算总能变化并求二次导数Cijkl=∂²E/(∂εij∂εkl)/V0，特别适用于低对称性材料（如六方晶系Mg的弹性常数计算需9种应变模式），但计算量随应变组合数呈平方增长。
DFPT方法通过解析求解能量对应变的二阶导数，避免有限差分误差，在刚玉（α-Al₂O₃）等复杂体系中可将计算效率提升50%，但需软件深度支持（如Abinit的elast模块），且对赝势的数学连续性要求严格。
这三种方法中，应力–应变法因操作简便被广泛采用，DFPT则在高精度需求时展现优势，而能量–应变法在验证非谐效应或极端条件下（如高压相变）的弹性性质时不可或缺。
DOI：10.48550/arXiv.2501.00127
多晶平均模量的计算
多晶材料平均模量的计算基于Voigt-Reuss-Hill（VRH）平均法，通过单晶弹性张量（Cij）或柔量张量（Sij）推导各向同性近似下的宏观力学参数。
Voigt上界假设应变均匀分布，体模量BV=(C11+2C12)/3，剪切模量GV=(C11-C12+3C44)/5；Reuss下界则假设应力均匀分布，BR=1/[3(S11+2S12)]，GR=5/(4S11-4S12+3S44)。
Hill平均取两者算术均值（BH=(BV+BR)/2，GH=(GV+GR)/2），进而计算杨氏模量E=9BG/(3B+G)与泊松比ν=(3B-2G)/(2(3B+G))。
以立方晶系铝为例，DFT计算得C11=108 GPa、C12=61 GPa、C44=28 GPa，Hill平均模量B=76.7 GPa、G=26.2 GPa，与实验超声测量值（B=76 GPa）误差，为多晶材料力学性能预测提供高效理论方案。
计算参数的影响与优化
在密度泛函理论（DFT）弹性张量计算中，参数选择对结果精度至关重要：投影缀加平面波（PAW）赝势因精确描述过渡金属的d/f轨道（如Fe的磁矩误差）成为金属与化合物体系的首选，而超软赝势（USPP）虽提升计算效率，但对弹性常数的预测误差可能增加5%-10%。
k点网格需通过收敛测试确定，立方晶系常采用8×8×8 Monkhorst-Pack网格，其弹性常数波动，而低对称性材料（如六方Mg）需增加至12×12×6以确保布里渊区积分收敛。
交换关联泛函方面，GGA-PBE较LDA更准确预测晶格常数（如Al的晶格参数误差从LDA的-1.5%改善至-0.3%），弹性模量误差控制在5%以内（如Fe的体模量预测值172 GPa vs. 实验176 GPa）。
平面波截断能（ENCUT）需高于赝势推荐值（如PAW_PBE Fe 04的400 eV），当截断能从500 eV提升至600 eV时，弹性常数变化，而计算耗时增加30%。
系统化的收敛测试（能量收敛至1 meV/atom，应力）与对称性适配应变模式选择是保障弹性张量计算可靠性的关键。
DOI：10.48550/arXiv.2501.00127
实例分析：DFT弹性计算
在2024年发表的论文《DFT Insights into the Physical Properties of Layered LiMnSe2 and LiMnTe2 Compounds》中，研究者通过密度泛函理论（DFT）系统揭示了层状化合物LiMnSe₂与LiMnTe₂的力学特性。
研究采用CASTEP软件结合GGA-PBE泛函，首先对三角晶胞进行几何优化，获得LiMnSe₂（a=4.21 Å，c=6.87 Å）与LiMnTe₂（a=4.53 Å，c=7.12 Å）的平衡晶格参数，能量–体积曲线显示铁磁态（FM）相较非磁态（NM）能量降低12 meV/atom，确认基态磁性。
随后施加六种独立应变模式（εxx、εyy、εzz、εxy、εxz、εyz），通过应力响应拟合弹性张量，结果显示LiMnSe₂的弹性常数C11=29.89 GPa、C12=23.77 GPa、C44=2.04 GPa，而LiMnTe₂的C11=24.61 GPa、C12=23.96 GPa、C44=4.25 GPa，其中C44显著低于C11（差值>20 GPa），表明层间剪切刚度较弱，与层状结构特征一致。
基于Voigt-Hill平均法计算的多晶模量显示，LiMnSe₂的体模量B=25.93 GPa、剪切模量G=4.11 GPa，LiMnTe₂则为B=22.05 GPa、G=3.17 GPa，低剪切模量（均）与高B/G比（6.31与6.95）符合Pugh延性准则（B/G>1.75），证实材料具有显著延展性。
泊松比ν≈0.42~0.43接近金属典型值（0.3~0.45），而弹性各向异性因子AU（LiMnSe₂=7.3，LiMnTe₂=4.1）揭示其力学性能的强烈方向依赖性：层内C11主导的刚度与层间C44主导的弱剪切抗力形成鲜明对比，这一特性与石墨烯/六方氮化硼等二维材料相似，预示其在柔性电子器件中的潜在应用。
该工作通过DFT计算建立了层状硫族化合物的“结构–弹性”映射关系，为设计新型层状功能材料提供了理论范式。
DOI：10.3390/met14091036
总结
密度泛函理论（DFT）在材料力学性质预测中面临多重挑战：常规计算基于零温基态，与室温实验条件存在差异，需通过准谐近似（QHA）结合声子谱计算热膨胀系数（如Al的α预测值22×10⁻⁶/K与实验24×10⁻⁶/K误差），或采用从头算分子动力学（AIMD）模拟高温相变（如β→α石英转变温度预测误差±50 K）。
实际材料中的位错、晶界等缺陷需构建数千原子级超胞（如Cu晶界模型含2000原子），计算耗时达万核时量级，制约其大规模应用。
为突破效率瓶颈，高通量平台（如Materials Project）已集成超2万种材料的弹性数据库，结合图神经网络（如CGCNN）建立“成分–模量”映射模型，实现弹性常数预测误差。
未来通过密度泛函微扰理论（DFPT）直接解析弹性张量导数（计算耗时降低50%）、融合机器学习势函数扩展时空尺度（如DeePMD模拟微米级多晶体系），以及多尺度耦合（DFT/有限元联用）等方法，将推动DFT从理想晶体向真实材料跨尺度力学行为的精准模拟，为航空合金、柔性电子等领域的材料设计提供原子级理论支撑。
写在最后
文中计算方法等内容在MS零基础课程中均有讲解。
课程采用Materials Studio CASTEP/DMol3模块作为主要引擎进行结构优化与性质计算，其中穿插密度泛函DFT基本理论与晶体学基础知识讲解，以及计算中所有参数的物理意义及设置方法。以二维材料的电子性质计算为例，重点讲解科学问题的解决思路。