说明：本文主要介绍 Bader 电荷分析的空间分区、电子积分与净电荷换算，以及压力和非核吸引子对分区结果的影响。
零通量面怎样定义原子区域？
Bader 电荷分析根据电子密度的空间分布划分原子区域，再统计每个区域中的电子数。设电子数密度为 ρ(r)，从空间一点沿密度增长最快的方向追踪，得到一条梯度轨线。通常，终止于同一原子核附近密度极大值的轨线构成一个原子盆 ΩA。这种分区使用密度函数本身，无须预先为各元素指定球形半径。
相邻原子盆之间的分割面满足 ∇ρ(r)·n(r) = 0，其中 n 是曲面的单位法向量。零通量指密度梯度在法向上的分量为零，梯度仍可沿曲面切向变化；整张曲面上的梯度向量并非处处为零。这里追踪的是一个数学向量场，轨线没有描述电子随时间运动的轨迹，零通量也没有测量穿过曲面的电流。
香花石 Li2Ca3Be3Si3O12F2 的原子盆有弯曲面和凹陷，不同配位的 Ca、F、O 具有不同形状。图中 a 展示各离子分区，b 叠合配位多面体。配位多面体由周围原子的位置构造，原子盆则由密度梯度定义，两种表面通常没有重合。成键区的密度分布参与原子盆形状的形成，固定原子半径无法描述这些起伏。
这组香花石图来自高压 X 射线衍射数据精修得到的电子密度模型，研究中另用 DFT 密度作比较。Bader 分区属于分子中的原子量子理论（QTAIM）采用的实空间分析：输入既可来自电子结构计算，也可来自实验约束的密度模型。用于 DFT 时，电子自洽先生成密度，随后分区、积分，所得原子电荷依赖这份密度的计算近似。
积分电子数怎样换算成净电荷？
对原子盆积分得到 NA = ∫ΩAρ(r)d3r。若 ρ 包含全部电子，原子净电荷为 qA/e = ZA − NA，ZA 是核电荷数，e 为正的元电荷。积分给出的 NA 是电子数，−eNA 是电子贡献的电荷，两者都还没有包含原子核的正电荷。按此定义，qA 为正表示该区域相对中性原子缺少电子。
CeH9 在 100 GPa 下的 DFT+U 计算提供了一个具体换算例子：Ce 的 5s25p6 半芯电子参与显式计算，中性 Ce 参照包含 12 个电子；Ce 盆内积分为 9.47 个，净电荷即 +(12 − 9.47)e = +2.53e。图中 a、b 分别是化合物与孤立氢笼的密度，c 是减去 Ce 与氢组分密度后的变化，d 给出 Bader 分区。
原论文将 Ce 盆内的电子电荷写为 −9.47e；三个不等价 H 位点的积分电子数分别为 1.34、1.31 和 1.09，相对中性 H 的净电荷分别为 −0.34e、−0.31e 和 −0.09e。小数来自有限区域内的平均电子数，核电荷仍是整数。将 +2.53e 取整写成 Ce 的形式氧化态，会额外引入另一套电子归属规则，原子盆积分本身没有执行该规则。
网格把连续空间离散为有限小体积。图中 b 将一个网格单元全部分给某个原子盆，曲面经过单元内部时会产生积分误差；c 用单元中各原子盆所占的体积分数加权，减小整格归属造成的偏差。加权发生在数值积分中，连续空间的原子盆仍不重叠。图中 a 的箭头表示密度梯度，点的位置和箭头方向共同决定分区归属。
采用赝势或投影缀加波（PAW）方法时，定义原子盆的密度与实际积分的密度可以分别指定。仅用平滑价电子密度寻找极大值，核附近可能出现错误分区；重构的芯电子加价电子密度可用于确定盆面。若随后积分的是价电子密度，参照数应使用该势所含的价电子数；若积分完整全电子密度，则使用核电荷数。
对同一份密度细化网格后，各盆电子数应逐渐收敛；所有区域的积分之和应恢复输入密度所含的总电子数。这项求和检查能发现漏计区域和积分误差，却不能检验泛函是否描述了正确电子态。更换泛函、磁态或密度重构方式会改变输入函数，即使积分已收敛，原子电荷也可能随之改变。
压力怎样改变原子盆的形状和体积？
同一晶体加压后，原子坐标和密度函数都发生变化，原子盆也随之变形。此时电子数写成 NA(P) = ∫ΩA(P)ρ(r;P)d3r，压力 P 同时进入被积函数与积分区域。把每个原子始终画成半径固定的球，会遗漏盆面随局部密度重排而移动的部分。
香花石的叠合图用绿色表示 4.2 GPa 下的盆面，其他颜色表示 1.9 GPa 下的同一离子。绿色外露部分表示该处盆面相对低压位置向外扩展；晶胞整体缩小时，局部盆面仍可能向外移动。绿色没有编码电子密度增量，盆面的位移还需与区域内部的密度数值分开描述。
原子盆体积为 VA = ∫ΩAd3r，常用单位 Å3，它统计区域大小；NA 则以密度作为权重统计电子数。体积减小可以伴随平均密度升高，NA 可能增加、减少或几乎不变。压力下比较同一种原子的净电荷时，ΔqA/e = −ΔNA，其中两次积分分别使用各自压力下的原子盆。
曲线上部比较净电荷，下部比较盆体积，各小图使用各自的纵轴范围。黑色菱形和红色三角形分别表示衍射密度模型的电荷与体积，空心方形表示理论结果。多数盆体积随压力减小，Si 的衍射模型结果却随压力增大，其 DFT 体积数值与变化趋势也有偏差。具体解释这处差异，需要检查衍射密度精修与理论密度的误差，不能把一组盆体积曲线推广成所有离子的压缩规律。
密度极大值在原子核之外时怎样统计？
某些体系的电子密度在核外也存在局部极大值，称为非核吸引子（NNA）。沿密度梯度追踪到这里的空间形成独立吸引盆，盆内没有原子核。严格按全部吸引盆统计时，这类区域也要参加电子数求和；若遗漏非核盆，仅把原子核周围的盆相加就可能少计电子。对不含核的区域，正核电荷为零，其净电荷只有 −eN 的电子贡献。
在 150 GPa 下，钠 tI50 相的候选 I4/m 结构含有晶格间隙电子局域区。其电子局域函数 ELF是描述局域特征的无量纲标量，图中 a 为切片，b 为 ELF = 0.9 的等值面。白球表示 Na 原子，黄色叶状区域位于原子间隙；这个等值面由指定 ELF 数值构成，与密度梯度定义的 Bader 盆面采用不同构造。
该研究另对电子密度作拓扑分析，在四类不等价间隙位置确认了非核吸引子：密度梯度为零，三个主曲率均为负，属于局部极大值。ELF 高值区与密度极大值分别检验，避免将局域函数峰当作电子密度峰。对数值密度，核外小峰还应检验网格细化和密度重构后的保留情况，排查离散误差产生的伪极大值。
同一钠结构的能带穿过费米能级 EF，EF 处态密度非零，计算显示该相仍具有金属电子结构。间隙出现非核吸引盆时，部分电子在实空间局域与能带在费米能级附近保持占据可以同时发生。Bader 分析积分的是空间密度，能带图排列的是电子态能量，二者使用的自变量不同。
若要估算这类高压钠的电输运，非核盆电子数不能直接充当自由载流子数。一个盆的密度可包含多个已占据能带的贡献，而导电涉及费米能级附近电子态对外场的响应。输运计算还需要能带速度、占据分布与散射时间，静态原子净电荷没有给出这些量。
