一文厘清应力、正应力、切应力、主应力、等效应力：概念、联系与适用边界全解析

说明：本文华算科技主要介绍应力、正应力、切应力、主应力和等效应力分别描述什么，并解释这些量之间的联系、区别与适用边界。

应力是什么？

用手掌和笔尖施加同样大小的力，材料局部的反应会相差很大，因为受力面积不同。可是应力不能简单等同于“外力除以总面积”：外力由整个物体承担，材料内部每一点怎样传力，还取决于几何形状、约束和载荷路径。

在材料内部取一点，再想象一个面积为 ΔA、法向为n 的小截面。截面一侧对另一侧传递的合力为 ΔF，当ΔA→0时，ΔF/ΔA的极限称为该截面上的应力向量或牵引向量t(n)。它的单位是 Pa，但它同时带有大小和方向。

图1. NEMS 纳米接触装置、界面受力分解与银接触滑动过程。DOI：10.1038/s41467-022-30290-y

均匀拉伸的细杆中，截面上的应力可以近似写成F/A；带孔板、弯梁或接触区内，应力会随位置变化，局部峰值可能远高于名义值。平均应力适合描述整体载荷水平，局部应力负责回答材料从哪里先屈服或开裂。两者针对的空间尺度不同。

同一点可以穿过无数个方向不同的截面，每个截面都对应一个t(n)。经典连续介质力学用柯西应力张量σ统一记录这些关系：t(n)=σ·n。在不考虑偶应力的常见模型中，角动量平衡使 σ 为对称张量，三维状态只需六个独立分量。这些分量共同决定任意截面上的牵引。

五个概念由此各有位置：应力指一点处的完整张量状态；正应力和切应力是某一截面上t(n) 的两个分量；主应力是切应力恰好为零的特殊截面上的正应力；等效应力则是按失效判据把多轴应力压缩成的一个比较值。前四类量可以回到同一个张量，后一类量还要指明采用的判据。

完整描述局部受力要交代材料中的位置；若问某一截面上的正、切应力，还要交代截面方向。改变坐标轴只会改变张量分量的写法，不会改变材料内部的物理状态；改变观察截面的方向，却会改变该截面上分解出的正应力与切应力。

正应力和切应力为什么随截面方向改变？

对法向为n 的截面，应力向量沿法向的投影是正应力σ_n=t·n；留在截面内的部分是切应力向量 t_s=t−σ_nn。前者倾向于拉开或压紧截面，后者倾向于让截面两侧发生相对滑移。

图2. 笛卡尔坐标应力分量及任意截面上牵引向量的正、切分解。DOI：10.1007/s11440-022-01764-6

这里的“正”和“切”都相对于选定截面。换一个截面，法向n 变了，由 σ·n 得到的应力向量及其分解也随之变化。同一应力状态可以在一个面上表现为纯正应力，在另一个倾斜面上同时出现正、切分量。

均匀受拉直杆的横截面与轴线垂直，此时可近似得到 σ=F/A，切应力为零。若改取斜截面，截面面积和牵引方向都会改变，“只有拉力”并不意味着任意截面上都没有切应力。斜面上的两个分量由张量变换确定。

图3. 银纳米接触滑动中的摩擦力、法向力、接触宽度与相应应力变化。DOI：10.1038/s41467-022-30290-y

符号必须跟约定一起读。本文采用工程中常见的拉应力为正、压应力为负；切应力分量的正负还要同时指定坐标轴、截面法向和切向方向。若只讨论切应力大小，可写成 τ=‖t_s‖≥0，但切应力分量的正负仍保留方向信息。

弯曲、扭转、孔边和接触问题常把多个分量叠加在同一点。外载名称不能直接替代内部应力：扭矩主要引起切应力，弯矩主要形成轴向正应力，但复杂几何和边界约束还会产生其他分量。载荷类型与局部应力分量不能画等号。具体比例仍由几何与边界条件决定。

既然正、切分量会随截面转动，一个自然问题是：能否找到某些截面，让切应力降为零？这组特殊方向把复杂分量整理成主应力，但没有改变原来的应力张量。

主应力为什么对应三组特殊方向？

当某个截面上的牵引向量恰好与法向平行，截面内就没有切向分量，这个截面称为主平面，法向称为主方向，相应的正应力就是主应力。数学上满足 σ·n=σ_in，所以主应力是应力张量的特征值。

对称的三维应力张量总能选取三条相互正交的主方向。采用本文的拉正压负约定时，可按σ₁≥σ₂≥σ₃排序；岩土和地质文献有时采用压应力为正或不同编号规则，因此跨领域比较数值前要先核对符号约定。

把坐标轴旋转到三条主方向，应力矩阵只剩三个对角项。这一步是同一物理状态的坐标变换，并没有把切应力“消除”或把材料重新加载；回到其他截面，切应力仍可重新出现。

图4. 双侧缺口金属玻璃的 von Mises 应力场、断口形貌与三个区域的面内主应力方向。DOI：10.1038/srep21967

带缺口构件即使承受单向宏观拉伸，局部几何约束仍可使主方向偏离加载轴，不同缺口邻域的主应力大小和方向也会变化。

主应力不随坐标轴选择而变，能直接表达一点处沿主方向的最大与最小正应力。脆性裂纹、界面张开和分层常对最大拉主应力敏感；在脆性涂层中，与最大拉主应力方向垂直的裂纹面更容易张开。

三维状态中的最大切应力大小为τ_max=(σ₁−σ₃)/2。它由最大与最小主应力之差控制，而不是由三者的共同升降控制；三个主应力同时增加相同数值时，主应力差保持不变。

若两个主应力相等，对应子空间内的主方向不再唯一；若三者相等，任意方向都是主方向。这种方向简并不妨碍主应力数值成立，却提醒我们：主方向图在接近等主应力区时可能对微小数值扰动敏感。

等效应力为什么不能替代主应力？

多轴应力有六个独立分量，材料强度试验却常给出单轴屈服强度。等效应力就是由选定判据构造的标量，用来把多轴状态与单轴试验标尺比较。它没有独立方向，也不等于某个截面上的牵引分量。

对各向同性延性金属，常用 von Mises 等效应力：σ_VM=√{[(σ₁−σ₂)²+(σ₂−σ₃)²+(σ₃−σ₁)²]/2}。公式只含主应力差，衡量的是偏应力引起的形状改变；平均应力 σ_m=(σ₁+σ₂+σ₃)/3 不直接进入该值。

图5. 银纳米接触滑移失稳时的 von Mises 应力与块体、纳米尺度及理论强度参考值。DOI：10.1038/s41467-022-30290-y

三个简单状态最能看出差别：单轴应力 (σ,0,0) 对应 σ_VM=|σ|；纯切应力 τ 对应 σ_VM=√3|τ|；静水压力状态 (−p,−p,−p) 的三个主应力都不为零，von Mises 值却为零。零 von Mises 应力不代表“没有应力”，只代表没有偏应力。压力敏感材料正因如此不能只按该值评估。

不同应力状态可以得到相同的 σ_VM，因此这个标量丢失了方向、拉压符号和平均应力信息。主应力回答“沿哪些方向承受多大的拉压”，等效应力回答“按某个判据，多轴状态相当于多大的单轴应力水平”。二者保留的信息维度不同。

判据必须与材料和失效模式匹配。各向同性延性金属的初始屈服常用 von Mises；脆性材料的张裂可重点检查最大拉主应力；岩土、粉体和许多压力敏感材料还需考虑平均应力，常采用 Mohr–Coulomb、Drucker–Prager 或经过标定的其他准则。等效应力没有脱离判据的统一含义。

在黏着纳米接触中，界面同时承受拉、切作用时，单纯拉伸模型会高估拉脱力，此时还要考虑剪切辅助分离。材料强度和界面失效由不同参数标定，不能共用一个阈值。

图6. 银纳米接触拉脱实验与纯拉伸黏附模型的力值比较。DOI：10.1038/s41467-022-30290-y

有限元云图中的“Stress”也要先看变量名：S11、S12是坐标分量，Maximum Principal 是主应力，von Mises 是判据标量。它们可能在不同位置达到最大值，不能只凭颜色最红的位置判断同一种风险。变量名决定颜色对应的物理含义。

例如带圆孔的金属拉板在孔边形成应力集中：若材料按 von Mises 准则屈服，应比较 σ_VM与标定的屈服强度；若孔边已有脆性裂纹，则最大拉主应力及其方向更直接关联裂纹张开。这两种输出对应不同的失效问题，不能互相替换。